Ejercicio 2: Evaporador considerando entalpía de dilución

Enunciado

Un evaporador de un efecto es utilizado para concentrar \(9070~\text{kg/h}\) de una solución al \(20~\%\) de hidróxido de sodio hasta alcanzar un \(50~\%\) de concentración másica. La presión de manométrica del vapor saturado que entra al evaporador (\(\text{S}\)) es de \(1.37~\text{atm}\); la presión en el evaporador es \(100~\text{mmHg}\). Asuma que el coeficiente global de transferencia de masa es de \(1400~\text{W/m}^2\cdot\text{°C}\), y que la temperatura del flujo de alimentación es de \(37.8~\text{°C}\).

Encuentre lo siguiente:

1. El flujo másico de vapor saturado que sale del evaporador en la corriente \(\text{V}\).

2. El flujo másico de vapor saturado necesario en la corriente \(\text{S}\).

3. La economía del evaporador.

4. El área de evaporador requerido si la temperatura de condensación del vapor a \(1.37~\text{atm}\) es \(126.1~\text{°C}\).

Fig. 13 Diagrama de evaporador de 1 efecto.

Para sus cálculos utilice la siguiente información:
Temperatura de ebullición del agua a \(100~\text{mmHg}\): \(51.11~\text{°C}\)
Punto de ebullición de la solución a una concentración del \(20~\%\) de NaOH: \(91.67~\text{°C}\)
El calor latente de vapor saturado a \(1.37~\text{atm}\) es: \(2184.11~\text{kJ/kg}\)
La entalpía de agua sobrecalentada a \(91.67~\text{°C}\) puede ser calculada como:

\[ H_v \text{(Btu/lb)} = 1116+0.45\cdot\Delta\text{EPE}\text{(°F)} \]

Donde \(\Delta\text{EPE}\) es la elevación del punto de ebullición.
Ya que tenemos una solución salina, debemos considerar la entalpía de dilución. Para esto, utilice el siguiente gráfico.

Fig. 14 Diagrama concentración másica vs entalpía.

Ver solución

Solución

Inciso 1

import handcalcs.render
handcalcs.set_option("custom_symbols",{"dEPE": "\Delta EPE", "dotm": "\dot m", "lambda": "\lambda", "Tebs": "T^eb", "dT": "\Delta T"})

Se debe cumplir la conservación de masa, tal que

\[ w_F\cdot F = w_L\cdot L \]

%%render params
dotm_F = 9070 #kg/h
w_F = 0.2 
w_L = 0.5

\[\begin{split} \begin{aligned} \dot m_{F} &= 9070 \; \;\textrm{(kg/h)} &w_{F} &= 0.200 \; &w_{L} &= 0.500 \; \\[10pt] \end{aligned} \end{split}\]

%%render short
dotm_L = dotm_F*(w_F/w_L) #kg/h

\[ \begin{aligned} \dot m_{L} &= \dot m_{F} \cdot \left( \frac{ w_{F} }{ w_{L} } \right) = 9070 \cdot \left( \frac{ 0.200 }{ 0.500 } \right) &= 3628.000 \; \;\textrm{(kg/h)} \end{aligned} \]

Por balance de masa se despeja \(\dot{m}_V\).

%%render short 0
dotm_V = dotm_F-dotm_L #kg/h

\[ \begin{aligned} \dot m_{V} &= \dot m_{F} - \dot m_{L} = 9070 - 3628 &= 5442 \; \;\textrm{(kg/h)} \end{aligned} \]

Inciso 2

Se debe despejar \(\dot{m}_s\) a partir del balance de energía.

\[ \dot{m}_s\cdot\lambda_s = \dot{m}_v\cdot H_v + \dot{m}_L\cdot H_L - \dot{m}_F\cdot H_F \]

%%render params
Tebs_sol = 91.67 #$^\circ$C
Tebs_w = 51.11 #$^\circ$C
lambda_s = 2184.11 #kJ/kg

\[\begin{split} \begin{aligned} \mathrm{T^eb}_{sol} &= 91.670 \; \;\textrm{($^\circ$C)} &\mathrm{T^eb}_{w} &= 51.110 \; \;\textrm{($^\circ$C)} &\lambda_{s} &= 2184.110 \; \;\textrm{(kJ/kg)} \\[10pt] \end{aligned} \end{split}\]

Por definición, el \(\Delta\text{EPE}\) es la diferencia entre las temperaturas de ebullición de la solución y el agua pura. Ya que la fórmula para \(H_v\) se encuentra en función de la temperatura en Farenheit, hacemos el cambio de unidades.

%%render short 0
Tebs_solF = Tebs_sol*9/5 +32 #$^\circ$F
Tebs_wF = Tebs_w*9/5 +32 #$^\circ$F
dEPE = Tebs_solF-Tebs_wF #$^\circ$F
H_V = 1116+0.45*dEPE #Btu/lb

\[\begin{split} \begin{aligned} \mathrm{T^eb}_{solF} &= \mathrm{T^eb}_{sol} \cdot \frac{ 9 }{ 5 } + 32 = 92 \cdot \frac{ 9 }{ 5 } + 32 &= 197 \; \;\textrm{($^\circ$F)} \\[10pt] \mathrm{T^eb}_{wF} &= \mathrm{T^eb}_{w} \cdot \frac{ 9 }{ 5 } + 32 = 51 \cdot \frac{ 9 }{ 5 } + 32 &= 124 \; \;\textrm{($^\circ$F)} \\[10pt] \Delta EPE &= \mathrm{T^eb}_{solF} - \mathrm{T^eb}_{wF} = 197 - 124 &= 73 \; \;\textrm{($^\circ$F)} \\[10pt] H_{V} &= 1116 + 0.45 \cdot \Delta EPE = 1116 + 0.45 \cdot 73 &= 1149 \; \;\textrm{(Btu/lb)} \end{aligned} \end{split}\]

Las otras entalpías las encontramos de forma gráfica:
\(H_F:~20~\%~\text{sólidos a}~100~\text{°F}\) \(\rightarrow\) \(55~\text{Btu/lb}\)
\(H_L:~50~\%~\text{sólidos a}~197~\text{°F}\) \(\rightarrow\) \(221~\text{Btu/lb}\)

%%render short
H_V = 1149*2.326 # kJ/kg
H_F = 55*2.326 # kJ/kg
H_L = 221*2.326 # kJ/kg

\[\begin{split} \begin{aligned} H_{V} &= 1149 \cdot 2.326 &= 2672.574 \; \;\textrm{(kJ/kg)} \\[10pt] H_{F} &= 55 \cdot 2.326 &= 127.930 \; \;\textrm{(kJ/kg)} \\[10pt] H_{L} &= 221 \cdot 2.326 &= 514.046 \; \;\textrm{(kJ/kg)} \end{aligned} \end{split}\]

%%render long
q = dotm_V*H_V + dotm_L*H_L - dotm_F*H_F # kJ/h
dotm_s = q/lambda_s #kg/h

\[\begin{split} \begin{aligned} q &= \dot m_{V} \cdot H_{V} + \dot m_{L} \cdot H_{L} - \dot m_{F} \cdot H_{F} \\&= 5442.000 \cdot 2672.574 + 3628.000 \cdot 514.046 - 9070 \cdot 127.930 \\&= 15248781.496 \; \;\textrm{(kJ/h)}\\[10pt] \\[10pt] \dot m_{s} &= \frac{ q }{ \lambda_{s} } \\&= \frac{ 15248781.496 }{ 2184.110 } \\&= 6981.691 \; \;\textrm{(kg/h)}\\[10pt] \end{aligned} \end{split}\]

Inciso 3

%%render 2
E = dotm_V/dotm_s #kg/kg

\[ \begin{aligned} E &= \frac{ \dot m_{V} }{ \dot m_{s} } = \frac{ 5442.00 }{ 6981.69 } &= 0.78 \; \;\textrm{(kg/kg)} \end{aligned} \]

Inciso 4

La ecuación de diseño de un evaporador será:

\[ q = U\cdot A\cdot\Delta T \]

Donde la diferencia de temperaturas \(\Delta T\) será la temperatura en el flujo de vapor \(\text{S}\) y la temperatura de ebullición de la solución en el evaporador.

%%render long
U = 1400 #W/m$^2\cdot^\circ$C
q = q*(1000/3600) #W
dT = 126.1-91.67
A = q/(U*dT) #m$^2$

\[\begin{split} \begin{aligned} U &= 1400 \; \;\textrm{(W/m$^2\cdot^\circ$C)} \\[10pt] q &= q \cdot \left( \frac{ 1000 }{ 3600 } \right) \\&= 4235772.638 \cdot \left( \frac{ 1000 }{ 3600 } \right) \\&= 4235772.638 \; \;\textrm{(W)}\\[10pt] \\[10pt] \Delta T &= 126.1 - 91.67 &= 34.430 \\[10pt] A &= \frac{ q }{ U \cdot \Delta T } \\&= \frac{ 4235772.638 }{ 1400 \cdot 34.430 } \\&= 87.875 \; \;\textrm{(m$^2$)}\\[10pt] \end{aligned} \end{split}\]