IIQ2013 - Clase 14

Interesa evaluar el tiempo que demora calentar \(V = 10~\text{m}^3\) de glicerina de \(T_i = 25~\text{°C}\) a \(T_f = 35~\text{°C}\) en un estanque agitado de configuración estándar (\(D_a/D_t = 1/3\), \(H/D_t = 1\)) equipado con un impulsor de ancla que opera a \(N = 32~\text{RPM}\), y una camisa con deflectores (ancho, \(w = 10~\text{cm}\)) por la que circulan \(F = 12000~\text{kg/h}\) de vapor de agua a \(T_{hi} = 100~\text{°C}\).

Librerias a utilizar

import handcalcs.render
import forallpeople
import numpy as np
import forallpeople as si
si.environment('default', top_level=True)

Pregunta 1:

Estime el coeficiente de transferencia de calor para glicerina en el estanque (considere los siguientes valores de las propiedades físicas de la glicerina a \(30~\text{°C}\): \(r = 1260~\text{kg/m}^3\); \(\mu = 0.656~\text{Pa}\cdot\text{s}\); \(k = 0.286~\text{W/m}\cdot\text{K}\); y \(Pr = 5590\))

a) \(h_o\) \(>\) 60 \(\text{W/m}\cdot\text{K}\)
b) 50 \(\leq\) \(h_o\) \(<\) 60 \(\text{W/m}\cdot\text{K}\)
c) 40 \(\leq\) \(h_o\) \(<\) 50 \(\text{W/m}\cdot\text{K}\)
d) \(h_o\) \(<\) 40 \(\text{W/m}\cdot\text{K}\)

Solución

%%render params
rho = 1260 * kg/m**3
N = 32/60 * 1/s
D_a = 0.778 * m
mu = 0.656 * Pa * s

\[\begin{split} \begin{aligned} \rho &= 1260.000\ \mathrm{kg} \cdot \mathrm{m}^{-3} \; &N &= 533.333\ \mathrm{mHz} \; &D_{a} &= 778.000\ \mathrm{mm} \; \\[10pt] \mu &= 0.656\ \mathrm{kg} \cdot \mathrm{m}^{-1} \cdot \mathrm{s}^{-1} \; \end{aligned} \end{split}\]

%%render long
Re = rho*N*D_a**2/mu

\[\begin{split} \begin{aligned} \mathrm{Re} &= \rho \cdot N \cdot \frac{ \left( D_{a} \right) ^{ 2 } }{ \mu } \\&= 1260.000\ \mathrm{kg} \cdot \mathrm{m}^{-3} \cdot 533.333\ \mathrm{mHz} \cdot \frac{ \left( 778.000\ \mathrm{mm} \right) ^{ 2 } }{ 0.656\ \mathrm{kg} \cdot \mathrm{m}^{-1} \cdot \mathrm{s}^{-1} } \\&= 620.047 \\[10pt] \end{aligned} \end{split}\]

Ahora calculamos el diámetro del estanque y del agitador

%%render long
V_t = 10 * m **3
pi = np.pi
D_t = (4*V_t/pi)** (1/3)
D_a = D_t/3

\[\begin{split} \begin{aligned} V_{t} &= 10 \cdot \left( m \right) ^{ 3 } \\&= 10 \cdot \left( m \right) ^{ 3 } \\&= 10.000\ \mathrm{m}^{3} \\[10pt] \\[10pt] \pi &= 3.142 \; \\[10pt] D_{t} &= \left( 4 \cdot \frac{ V_{t} }{ \pi } \right) ^{ \left( \frac{ 1 }{ 3 } \right) } \\&= \left( 4 \cdot \frac{ 10.000\ \mathrm{m}^{3} }{ 3.142 } \right) ^{ \left( \frac{ 1 }{ 3 } \right) } \\&= 2.335\ \mathrm{m} \\[10pt] \\[10pt] D_{a} &= \frac{ D_{t} }{ 3 } \\&= \frac{ 2.335\ \mathrm{m} }{ 3 } \\&= 778.363\ \mathrm{mm} \\[10pt] \end{aligned} \end{split}\]

Ahora calculamos el coeficiente de convección por el lado del fluido agitado

%%render long
Pr = 5590
Nusselt_t = 0.36 * (Re)**0.67 * Pr**(0.33)
k = 0.286 * W / m / K
h_o = Nusselt_t*k/D_t

\[\begin{split} \begin{aligned} \mathrm{Pr} &= 5590 \; \\[10pt] \mathrm{Nusselt}_{t} &= 0.36 \cdot \left( \mathrm{Re} \right) ^{ 0.67 } \cdot \left( \mathrm{Pr} \right) ^{ 0.33 } \\&= 0.36 \cdot \left( 620.047 \right) ^{ 0.67 } \cdot \left( 5590 \right) ^{ 0.33 } \\&= 461.183 \\[10pt] \\[10pt] k &= 0.286 \cdot \frac{ W }{ m } \cdot \frac{1} { K } \\&= 0.286 \cdot \frac{ W }{ m } \cdot \frac{1} { K } \\&= 0.286\ \mathrm{kg} \cdot \mathrm{m} \cdot \mathrm{s}^{-3} \cdot \mathrm{K}^{-1} \\[10pt] \\[10pt] h_{o} &= \mathrm{Nusselt}_{t} \cdot \frac{ k }{ D_{t} } \\&= 461.183 \cdot \frac{ 0.286\ \mathrm{kg} \cdot \mathrm{m} \cdot \mathrm{s}^{-3} \cdot \mathrm{K}^{-1} }{ 2.335\ \mathrm{m} } \\&= 56.485\ \mathrm{kg} \cdot \mathrm{s}^{-3.0} \cdot \mathrm{K}^{-1.0} \\[10pt] \end{aligned} \end{split}\]

Por lo tanto, la alternativa correcta es la b.

Pregunta 2

En base al diámetro equivalente para el fluido que circula por la chaqueta, estime el coeficiente de transferencia de calor por convección para el vapor de agua de calefacción. Asuma que el vapor de agua no cambia de fase y se mantiene a temperatura constante. Considere \(\rho = 0.59~\text{kg/m}^3\), \(\mu = 0.01~\text{cP}\), \(k = 0.025~\text{W/m}\cdot\text{K}\), \(Pr = 1\).

a) \(h_c\) \(\geq\) 150 \(\text{W/m}\cdot\text{K}\)
b) 100 \(\leq\) \(h_c\) \(<\) 150 \(\text{W/m}\cdot\text{K}\)
c) 50 \(\leq\) \(h_c\) \(<\) 100 \(\text{W/m}\cdot\text{K}\)
d ) \(h_c\) \(<\) 50 \(\text{W/m}\cdot\text{K}\)

Hint: Recuerde la correlación de Sieder-Tate y el diámetro equivalente térmico.

Solución

%%render long
D_ci = D_t
D_ce = D_t + 0.1*m
D_et = (D_ce**2 - D_ci**2)/D_ci
Z = D_t
a_c = Z*(D_ce-D_ci)

\[\begin{split} \begin{aligned} D_{ci} &= 2.335\ \mathrm{m} \; \\[10pt] D_{ce} &= D_{t} + 0.1 \cdot m \\&= 2.335\ \mathrm{m} + 0.1 \cdot m \\&= 2.435\ \mathrm{m} \\[10pt] \\[10pt] D_{et} &= \frac{ \left( D_{ce} \right) ^{ 2 } - \left( D_{ci} \right) ^{ 2 } }{ D_{ci} } \\&= \frac{ \left( 2.435\ \mathrm{m} \right) ^{ 2 } - \left( 2.335\ \mathrm{m} \right) ^{ 2 } }{ 2.335\ \mathrm{m} } \\&= 204.282\ \mathrm{mm} \\[10pt] \\[10pt] Z &= 2.335\ \mathrm{m} \; \\[10pt] a_{c} &= Z \cdot \left( D_{ce} - D_{ci} \right) \\&= 2.335\ \mathrm{m} \cdot \left( 2.435\ \mathrm{m} - 2.335\ \mathrm{m} \right) \\&= 233508.865\ \mathrm{mm}^{2.0} \\[10pt] \end{aligned} \end{split}\]

Ahora calculamos la velocidad del fluido en la chaqueta,

si.environment('default', top_level=True)

%%render long 5
rho_v = 0.59 * kg / m**3 # Densidad del fluido de servicio
mu_v = 0.01*1e-3*Pa*s
k_v = 0.025 *  W / m / K
F = 12000/3600 * kg / s
V = F/(rho_v*a_c)
Re = rho_v * V * D_et / mu_v
Nusselt_chaqueta = 0.027 * Re ** 0.8
h_c = Nusselt_chaqueta * k_v / (D_et)

\[\begin{split} \begin{aligned} \rho_{v} &= 0.59 \cdot \frac{ \mathrm{kg} }{ \left( m \right) ^{ 3 } } \\&= 0.59 \cdot \frac{ kg }{ \left( m \right) ^{ 3 } } \\&= 0.59000\ \mathrm{kg} \cdot \mathrm{m}^{-3} \; \;\textrm{(Densidad del fluido de servicio)}\\[10pt] \\[10pt] \mu_{v} &= 0.01 \cdot 1 \times 10 ^ {-3} \cdot \mathrm{Pa} \cdot s \\&= 0.01 \cdot 1 \times 10 ^ {-3} \cdot Pa \cdot s \\&= 0.00001\ \mathrm{kg} \cdot \mathrm{m}^{-1} \cdot \mathrm{s}^{-1} \\[10pt] \\[10pt] k_{v} &= 0.025 \cdot \frac{ W }{ m } \cdot \frac{1} { K } \\&= 0.025 \cdot \frac{ W }{ m } \cdot \frac{1} { K } \\&= 0.02500\ \mathrm{kg} \cdot \mathrm{m} \cdot \mathrm{s}^{-3} \cdot \mathrm{K}^{-1} \\[10pt] \\[10pt] F &= \frac{ 12000 }{ 3600 } \cdot \frac{ \mathrm{kg} }{ s } \\&= \frac{ 12000 }{ 3600 } \cdot \frac{ kg }{ s } \\&= 3.33333\ \mathrm{kg} \cdot \mathrm{s}^{-1} \\[10pt] \\[10pt] V &= \frac{ F }{ \rho_{v} \cdot a_{c} } \\&= \frac{ 3.33333\ \mathrm{kg} \cdot \mathrm{s}^{-1} }{ 0.59000\ \mathrm{kg} \cdot \mathrm{m}^{-3} \cdot 233508.86499\ \mathrm{mm}^{2.0} } \\&= 24.19487\ \mathrm{m} \cdot \mathrm{s}^{-1.0} \\[10pt] \\[10pt] \mathrm{Re} &= \rho_{v} \cdot V \cdot \frac{ D_{et} }{ \mu_{v} } \\&= 0.59000\ \mathrm{kg} \cdot \mathrm{m}^{-3} \cdot 24.19487\ \mathrm{m} \cdot \mathrm{s}^{-1.0} \cdot \frac{ 204.28249\ \mathrm{mm} }{ 0.00001\ \mathrm{kg} \cdot \mathrm{m}^{-1} \cdot \mathrm{s}^{-1} } \\&= 291612.75835 \\[10pt] \\[10pt] \mathrm{Nusselt}_{chaqueta} &= 0.027 \cdot \left( \mathrm{Re} \right) ^{ 0.8 } \\&= 0.027 \cdot \left( 291612.75835 \right) ^{ 0.8 } \\&= 635.63672 \\[10pt] \\[10pt] h_{c} &= \mathrm{Nusselt}_{chaqueta} \cdot \frac{ k_{v} }{ D_{et} } \\&= 635.63672 \cdot \frac{ 0.02500\ \mathrm{kg} \cdot \mathrm{m} \cdot \mathrm{s}^{-3} \cdot \mathrm{K}^{-1} }{ 204.28249\ \mathrm{mm} } \\&= 77.78894\ \mathrm{kg} \cdot \mathrm{s}^{-3.0} \cdot \mathrm{K}^{-1.0} \\[10pt] \end{aligned} \end{split}\]

Por lo tanto, la respuesta correcta es la c.

Pregunta 3

Estime en forma aproximada el tiempo de calentamiento. (Puede considerar que para glicerina a \(30~\text{°C}\), \(c_P = 2437~\text{J/kg}\cdot\text{K}\)).

a) \(t_c\) \(\geq\) 200 min
b) 150 \(\leq\) \(t_c\) \(<\) 200 min
c) 100 \(\leq\) \(t_c\) \(<\) 150 min
d ) \(t_c\) \(<\) 100 min

Solución

%%render long
M = V_t * rho
c_p = 2437 * J/kg/K
U = (1/h_o + 1/h_c)**-1 # Coeficiente global de transferencia de calor

\[\begin{split} \begin{aligned} M &= V_{t} \cdot \rho \\&= 10.000\ \mathrm{m}^{3} \cdot 1260.000\ \mathrm{kg} \cdot \mathrm{m}^{-3} \\&= 12.600\ \mathrm{Mg} \\[10pt] \\[10pt] c_{p} &= 2437 \cdot \frac{ J }{ \mathrm{kg} } \cdot \frac{1} { K } \\&= 2437 \cdot \frac{ J }{ kg } \cdot \frac{1} { K } \\&= 2437.000\ \mathrm{m}^{2} \cdot \mathrm{s}^{-2} \cdot \mathrm{K}^{-1} \\[10pt] \\[10pt] U &= \left( \frac{ 1 }{ h_{o} } + \frac{ 1 }{ h_{c} } \right) ^{ -1 } \\&= \left( \frac{ 1 }{ 56.485\ \mathrm{kg} \cdot \mathrm{s}^{-3.0} \cdot \mathrm{K}^{-1.0} } + \frac{ 1 }{ 77.789\ \mathrm{kg} \cdot \mathrm{s}^{-3.0} \cdot \mathrm{K}^{-1.0} } \right) ^{ -1 } \\&= 32.724\ \mathrm{kg} \cdot \mathrm{s}^{-3.0} \cdot \mathrm{K}^{-1.0} \; \;\textrm{(Coeficiente global de transferencia de calor)}\\[10pt] \end{aligned} \end{split}\]

Asumiendo que la chaqueta comienza en el diámetro externo del tanque, el área de transferencia de calor viene dada por

%%render long
A = pi * D_t * Z

\[\begin{split} \begin{aligned} A &= \pi \cdot D_{t} \cdot Z \\&= 3.142 \cdot 2.335\ \mathrm{m} \cdot 2.335\ \mathrm{m} \\&= 17.130\ \mathrm{m}^{2.0} \\[10pt] \end{aligned} \end{split}\]

La diferencia de temperatura media logarítmica asumiendo que el vapor condensa por el lado de la chaqueta es

%%render short
T_i = 25 * Celsius
T_f = 35 * Celsius
T_s = 100 * Celsius
DeltaT_ml = ((T_s-T_i) - (T_s-T_f))/(np.log((T_s-T_i)/(T_s-T_f)))

\[\begin{split} \begin{aligned} T_{i} &= 25 \cdot \mathrm{Celsius} = 25 \cdot Celsius &= 25.000\ \mathrm{°C} \\[10pt] T_{f} &= 35 \cdot \mathrm{Celsius} = 35 \cdot Celsius &= 35.000\ \mathrm{°C} \\[10pt] T_{s} &= 100 \cdot \mathrm{Celsius} = 100 \cdot Celsius &= 100.000\ \mathrm{°C} \\[10pt] \mathrm{DeltaT}_{ml} &= \frac{ \left( T_{s} - T_{i} \right) - \left( T_{s} - T_{f} \right) }{ \mathrm{np.log} \left( \frac{ T_{s} - T_{i} }{ T_{s} - T_{f} } \right) } = \frac{ \left( 100.000\ \mathrm{°C} - 25.000\ \mathrm{°C} \right) - \left( 100.000\ \mathrm{°C} - 35.000\ \mathrm{°C} \right) }{ np.log \left( \frac{ 100.000\ \mathrm{°C} - 25.000\ \mathrm{°C} }{ 100.000\ \mathrm{°C} - 35.000\ \mathrm{°C} } \right) } &= 69.881\ \mathrm{°C} \end{aligned} \end{split}\]

Finalmente, el tiempo de calentamiento es

%%render long
t_s = M*c_p / (U*A) * np.log((T_s-T_i)/(T_s-T_f))

\[\begin{split} \begin{aligned} t_{s} &= M \cdot \frac{ c_{p} }{ U \cdot A } \cdot \mathrm{np.log} \left( \frac{ T_{s} - T_{i} }{ T_{s} - T_{f} } \right) \\&= 12.600\ \mathrm{Mg} \cdot \frac{ 2437.000\ \mathrm{m}^{2} \cdot \mathrm{s}^{-2} \cdot \mathrm{K}^{-1} }{ 32.724\ \mathrm{kg} \cdot \mathrm{s}^{-3.0} \cdot \mathrm{K}^{-1.0} \cdot 17.130\ \mathrm{m}^{2.0} } \cdot np.log \left( \frac{ 100.000\ \mathrm{°C} - 25.000\ \mathrm{°C} }{ 100.000\ \mathrm{°C} - 35.000\ \mathrm{°C} } \right) \\&= 7.839\ \mathrm{ks} \\[10pt] \end{aligned} \end{split}\]

Lo que es equivalente a 130.6 minutos. Por lo tanto, la respuesta correcta es la c.