IIQ2013 - Clase 10#

Se bombea hidrógeno \(\left(\mathrm{H}_2\right)\) desde un depósito a \(\mathrm{p}_1=2.6 \mathrm{~MPa}\), a través una cañería horizontal de acero de \(D=\) \(50 \mathrm{~mm}\) de diámetro y \(L=500 \mathrm{~m}\) de largo, y cuya rugosidad relativa es \(\varepsilon / \mathrm{D}=0.001\). Interesa conocer el flujo másico del \(\mathrm{H}_2\) si las condiciones del flujo son isotérmicas (la temperatura del gas es \(T=293 \mathrm{~K}\) ) y la presión de descarga es \(\mathrm{p}_2=2 \mathrm{~MPa}\) a la salida de la cañería.

En primer lugar se deben cargar las librerias que vamos a utilizar

import numpy as np
from numpy import sqrt, pi
import handcalcs.render
from handcalcs import handcalc
import math

Problema 1#

La densidad del gas \(\left(\rho_1=1 / v_1\right)\) en el depósito es la siguiente:

(a) \(\rho_1>10 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^3\)

(b) \(1<\rho_1 \leq 10 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^3\)

(c) \(0.1<\rho_1 \leq 1.0 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^3\)

(d) \(\rho_1 \leq 0.1 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^3\)

Solución#

Ocupando la ecuación del gas ideal:

\[ P v=\frac{R T}{M_W} \Rightarrow \frac{1}{v}=\rho=\frac{p \cdot M_W}{R T} \]
%%render long
p_1 = 2.6E6 # Pa
M_w = 0.002 # kg/mol
R = 8.314 # J/molK
T = 293 #K
rho_1 = p_1*M_w/(R*T) # kg/m$^3$
\[\begin{split} \begin{aligned} p_{1} &= 2600000.000 \; \;\textrm{(Pa)} \\[10pt] M_{w} &= 0.002 \; \;\textrm{(kg/mol)} \\[10pt] R &= 8.314 \; \;\textrm{(J/molK)} \\[10pt] T &= 293 \; \;\textrm{(K)} \\[10pt] \rho_{1} &= p_{1} \cdot \frac{ M_{w} }{ R \cdot T } \\&= 2600000.000 \cdot \frac{ 0.002 }{ 8.314 \cdot 293 } \\&= 2.135 \; \;\textrm{(kg/m$^3$)}\\[10pt] \end{aligned} \end{split}\]

La alternativa correcta es la b.

Problema 2#

Un valor aproximado para el valor del factor de fricción de Fanning \((f)\) en la tubería es el siguiente:

(a) \(f>0.0065\)

(b) \(0.0055<f \leq 0.0065\)

(c) \(0.0045<f \leq 0.0055\)

(d) \(f \leq 0.0045\)

Solución#

Se utilizará la ecuación de Nevers asumiendo que el Número de Reynolds tiene a \(\infty\).

%%render long
eps_d = 0.001
Re = math.inf
f = 0.001375 * (1 + (2e4 * eps_d + 1e6/Re)**(1/3))
\[\begin{split} \begin{aligned} \mathrm{eps}_{d} &= 0.001 \; \\[10pt] \mathrm{Re} &= inf \; \\[10pt] f &= 0.001375 \cdot \left( 1 + \left( 2 \times 10 ^ {4} \cdot \mathrm{eps}_{d} + \frac{ 1 \times 10 ^ {6} }{ \mathrm{Re} } \right) ^{ \left( \frac{ 1 }{ 3 } \right) } \right) \\&= 0.001375 \cdot \left( 1 + \left( 2 \times 10 ^ {4} \cdot 0.001 + \frac{ 1 \times 10 ^ {6} }{ inf } \right) ^{ \left( \frac{ 1 }{ 3 } \right) } \right) \\&= 0.005 \\[10pt] \end{aligned} \end{split}\]

La alternativa correcta es la c.

Problema 3#

Un valor aproximado para el flujo másico del gas por unidad de área transversal de la tubería (G/A) es el siguiente:

(a) \(G / A>50 \mathrm{~kg} \mathrm{~s}^{-1} \mathrm{~m}^{-2}\)

(b) \(5<\mathrm{G} / \mathrm{A} \leq 50 \mathrm{~kg} \mathrm{~s}^{-1} \mathrm{~m}^{-2}\)

(c) \(0.5<\mathrm{G} / \mathrm{A} \leq 5 \mathrm{~kg} \mathrm{~s}^{-1} \mathrm{~m}^{-2}\)

(d) \(G / A \leq 0.5 \mathrm{~kg} \mathrm{~s}^{-1} \mathrm{~m}^{-2}\)

Solución#

Para flujo isotérmico

\[ \int_{P_1}^{P_2} \frac{d p}{v} \hspace{2cm} \rightarrow \hspace{2cm} \frac{p_1}{2v_1}\left[\left(\frac{p_2}{p_1}\right)^2-1\right] \]
\[ \ln\left(\frac{v_2}{v_1}\right) \hspace{2cm} \rightarrow \hspace{2cm} -\ln\left(\frac{p_2}{p_1}\right) \]

De tal manera que el balance de energía queda representado de la siguiente manera.

\[ \frac{p_1}{2v_1}\left[\left(\frac{p_2}{p_1}\right)^2-1\right] + \left(\frac{G}{A}\right)^2\left(2f\frac{L}{D_{eq}}-\ln\left(\frac{p_2}{p_1}\right)\right) = 0 \]

Para simplificar cálculos

\[ k_1 = \frac{p_1}{2v_1}\left[\left(\frac{p_2}{p_1}\right)^2-1\right] \]

Y también

\[ k_2 = \left(2f\frac{L}{D_{eq}}-\ln\left(\frac{p_2}{p_1}\right)\right) \]
%%render long
p_2 = 2e6 #Pa
L = 500 #m
D = 0.05 #m
k_1 = (p_1/(2/rho_1))*((p_2/p_1)**2-1)
k_2 = ((2*f*L/D)-np.log(p_2/p_1))
GA = sqrt(-k_1/k_2) #kg$\cdot$s$^{-1}$$\cdot$m$^{-2}$
\[\begin{split} \begin{aligned} p_{2} &= 2000000.000 \; \;\textrm{(Pa)} \\[10pt] L &= 500 \; \;\textrm{(m)} \\[10pt] D &= 0.050 \; \;\textrm{(m)} \\[10pt] k_{1} &= \left( \frac{ p_{1} }{ \frac{ 2 }{ \rho_{1} } } \right) \cdot \left( \left( \frac{ p_{2} }{ p_{1} } \right) ^{ 2 } - 1 \right) \\&= \left( \frac{ 2600000.000 }{ \frac{ 2 }{ 2.135 } } \right) \cdot \left( \left( \frac{ 2000000.000 }{ 2600000.000 } \right) ^{ 2 } - 1 \right) \\&= -1133003.996 \\[10pt] \\[10pt] k_{2} &= \left( \left( 2 \cdot f \cdot \frac{ L }{ D } \right) - \mathrm{np.log} \left( \frac{ p_{2} }{ p_{1} } \right) \right) \\&= \left( \left( 2 \cdot 0.005 \cdot \frac{ 500 }{ 0.050 } \right) - np.log \left( \frac{ 2000000.000 }{ 2600000.000 } \right) \right) \\&= 102.409 \\[10pt] \\[10pt] \mathrm{GA} &= \sqrt { \frac{ \left( - k_{1} \right) }{ k_{2} } } \\&= \sqrt { \frac{ \left( - -1133003.996 \right) }{ 102.409 } } \\&= 105.183 \; \;\textrm{(kg$\cdot$s$^{-1}$$\cdot$m$^{-2}$)}\\[10pt] \end{aligned} \end{split}\]

La alternativa correcta es la a.