Ejercicio 3: Arreglos de aletas

Enunciado

Usted tiene una tubería de aluminio 2024-T6 (\(k=186~\text{W/m}\cdot\text{K}\)) de \(50~\text{cm}\) de largo y \(3.5~\text{cm}\) de radio externo. Normalmente, esta se utiliza para calentar aire que fluye por fuera de la tubería a \(298.15~\text{K}\). Además, sabe que la temperatura superficial del tubo es de \(450~\text{K}\) con un coeficiente de convección \(h=40~\text{W/m}^2\cdot\text{K}\). Ha decidido que para mejorar la transferencia de calor hacia los alrededores (aire) va a integrar aletas. Luego de cotizar en Dosimac encuentra aletas anulares con un grosor de \(7~\text{mm}\) y largo \(L=30~\text{mm}\).

1. Para comprobar si las aletas funcionan, usted compra 15 y las coloca igualmente espaciadas a lo largo del tubo. ¿Cuál es el aumento en la transferencia de calor producto de las aletas?

2. Si el mínimo espaciamiento entre aletas permitido es \(13~\text{mm}\), ¿cuántas aletas puede añadir como máximo? ¿Es mejor colocar esta cantidad de aletas o mantener el número inicial (15)?

Ver solución

Solución

import handcalcs.render
from numpy import pi

Inciso 1

Para un arreglo de aletas la ecuación para la tasa de transferencia de calor será:

\[ q_t = hA_t\left[1-\frac{NA_f}{A_t}\left(1-\eta_f\right)\right]\theta_b \]

Para aletas anulares, tenemos que el área de la aleta dependerá de los parámetros de dimensionamiento corregidos:

\[ A_f = 2\pi\left(r_{2c}^2-r_1^2\right) \]

Luego el área total del arreglo será la suma de las áreas de todas las aletas y del tubo

\[ A_t = N\cdot A_f + 2\pi r_1(H-N\cdot t) \]

La eficiencia la podemos encontrar de manera gráfica utilizando parámetros corregidos. Y luego buscando el valor correspondiente de:

\[ L_c^{\frac{3}{2}}\left(\frac{h}{kA_p}\right)^{\frac{1}{2}} \]

%%render params
k = 186 #W/m$\cdot$K
H = 0.5 #m
r_1 = 0.035 #m
T_inf = 298.15 #K
T_b = 450 #K
h = 40 #W/m$^2\cdot$K
L = 30/1000 #m
t = 7/1000 #m
N = 15
r_2 = r_1+L #m

\[\begin{split} \begin{aligned} k &= 186 \; \;\textrm{(W/m$\cdot$K)} &H &= 0.500 \; \;\textrm{(m)} &r_{1} &= 0.035 \; \;\textrm{(m)} \\[10pt] T_{inf} &= 298.150 \; \;\textrm{(K)} &T_{b} &= 450 \; \;\textrm{(K)} &h &= 40 \; \;\textrm{(W/m$^2\cdot$K)} \\[10pt] L &= 0.030 \; \;\textrm{(m)} &t &= 0.007 \; \;\textrm{(m)} &N &= 15 \; \\[10pt] r_{2} &= 0.065 \; \;\textrm{(m)} \end{aligned} \end{split}\]

Empezando por el cálculo para la eficiencia:

%%render long
r_2c = r_2 + t/2 #m
L_c  = L + t/2 #m
A_p = L_c*t #m$^2$
x = L_c**(3/2)*(h/(k*A_p))**(1/2)
curva = r_2c/r_1

\[\begin{split} \begin{aligned} r_{2c} &= r_{2} + \frac{ t }{ 2 } \\&= 0.065 + \frac{ 0.007 }{ 2 } \\&= 0.069 \; \;\textrm{(m)}\\[10pt] \\[10pt] L_{c} &= L + \frac{ t }{ 2 } \\&= 0.030 + \frac{ 0.007 }{ 2 } \\&= 0.034 \; \;\textrm{(m)}\\[10pt] \\[10pt] A_{p} &= L_{c} \cdot t \\&= 0.034 \cdot 0.007 \\&= 0.000 \; \;\textrm{(m$^2$)}\\[10pt] \\[10pt] x &= \left( L_{c} \right) ^{ \left( \frac{ 3 }{ 2 } \right) } \cdot \left( \frac{ h }{ k \cdot A_{p} } \right) ^{ \left( \frac{ 1 }{ 2 } \right) } \\&= \left( 0.034 \right) ^{ \left( \frac{ 3 }{ 2 } \right) } \cdot \left( \frac{ 40 }{ 186 \cdot 0.000 } \right) ^{ \left( \frac{ 1 }{ 2 } \right) } \\&= 0.186 \\[10pt] \\[10pt] \mathrm{curva} &= \frac{ r_{2c} }{ r_{1} } \\&= \frac{ 0.069 }{ 0.035 } \\&= 1.957 \\[10pt] \end{aligned} \end{split}\]

Del gráfico obtenemos que \(\eta_f \approx 0.94\).

%%render long
eta_f = 0.94
A_f = 2*pi*(r_2c**2-r_1**2) #m$^2$
A_t = N*A_f + 2*pi*r_1*(H-N*t) #m$^2$
q_t = h*A_t*(1-(N*A_f)/A_t*(1-eta_f))*(T_b - T_inf) #W

\[\begin{split} \begin{aligned} \eta_{f} &= 0.940 \; \\[10pt] A_{f} &= 2 \cdot \pi \cdot \left( \left( r_{2c} \right) ^{ 2 } - \left( r_{1} \right) ^{ 2 } \right) \\&= 2 \cdot 3.142 \cdot \left( \left( 0.069 \right) ^{ 2 } - \left( 0.035 \right) ^{ 2 } \right) \\&= 0.022 \; \;\textrm{(m$^2$)}\\[10pt] \\[10pt] A_{t} &= N \cdot A_{f} + 2 \cdot \pi \cdot r_{1} \cdot \left( H - N \cdot t \right) \\&= 15 \cdot 0.022 + 2 \cdot 3.142 \cdot 0.035 \cdot \left( 0.500 - 15 \cdot 0.007 \right) \\&= 0.414 \; \;\textrm{(m$^2$)}\\[10pt] \\[10pt] q_{t} &= h \cdot A_{t} \cdot \left( 1 - \frac{ N \cdot A_{f} }{ A_{t} } \cdot \left( 1 - \eta_{f} \right) \right) \cdot \left( T_{b} - T_{inf} \right) \\&= 40 \cdot 0.414 \cdot \left( 1 - \frac{ 15 \cdot 0.022 }{ 0.414 } \cdot \left( 1 - 0.940 \right) \right) \cdot \left( 450 - 298.150 \right) \\&= 2393.392 \; \;\textrm{(W)}\\[10pt] \end{aligned} \end{split}\]

Para el caso sin aletas tendremos un modelo de convección simple para la superficie exterior de una tubería.

\[ q_w = h(2\pi r_1H)\theta_b \]

%%render long
q_w = h*(2*pi*r_1*H)*(T_b-T_inf) #W

\[\begin{split} \begin{aligned} q_{w} &= h \cdot \left( 2 \cdot \pi \cdot r_{1} \cdot H \right) \cdot \left( T_{b} - T_{inf} \right) \\&= 40 \cdot \left( 2 \cdot 3.142 \cdot 0.035 \cdot 0.500 \right) \cdot \left( 450 - 298.150 \right) \\&= 667.871 \; \;\textrm{(W)}\\[10pt] \end{aligned} \end{split}\]

Luego el aumento será:

%%render long
Delta_q = q_t - q_w #W

\[\begin{split} \begin{aligned} \Delta_{q} &= q_{t} - q_{w} \\&= 2393.392 - 667.871 \\&= 1725.521 \; \;\textrm{(W)}\\[10pt] \end{aligned} \end{split}\]

Inciso 2

Por simetría la altura debe ser igual al grosor de las aletas más los espacios entre ellas. Asumiendo que entre el inicio de la tubería y el comienzo de la primera aleta el espaciamiento es \(S=13~\text{mm}\). Y lo mismo se cumple para el término de la última aleta y el final de la tubería.

\[ H = N(t+S)+S \]

Despejando y resolviendo:

%%render long
S = 0.013 #m
N = (H-S)/(t+S)

\[\begin{split} \begin{aligned} S &= 0.013 \; \;\textrm{(m)} \\[10pt] N &= \frac{ H - S }{ t + S } \\&= \frac{ 0.500 - 0.013 }{ 0.007 + 0.013 } \\&= 24.350 \\[10pt] \end{aligned} \end{split}\]

Entonces el máximo de aletas posibles será \(N=24\). Repetimos los cálculos que sea necesarios.

%%render long
N = 24
A_t = N*A_f + 2*pi*r_1*(H-N*t) #m$^2$
q_t = h*A_t*(1-(N*A_f)/A_t*(1-eta_f))*(T_b - T_inf) #W

\[\begin{split} \begin{aligned} N &= 24 \; \\[10pt] A_{t} &= N \cdot A_{f} + 2 \cdot \pi \cdot r_{1} \cdot \left( H - N \cdot t \right) \\&= 24 \cdot 0.022 + 2 \cdot 3.142 \cdot 0.035 \cdot \left( 0.500 - 24 \cdot 0.007 \right) \\&= 0.596 \; \;\textrm{(m$^2$)}\\[10pt] \\[10pt] q_{t} &= h \cdot A_{t} \cdot \left( 1 - \frac{ N \cdot A_{f} }{ A_{t} } \cdot \left( 1 - \eta_{f} \right) \right) \cdot \left( T_{b} - T_{inf} \right) \\&= 40 \cdot 0.596 \cdot \left( 1 - \frac{ 24 \cdot 0.022 }{ 0.596 } \cdot \left( 1 - 0.940 \right) \right) \cdot \left( 450 - 298.150 \right) \\&= 3428.704 \; \;\textrm{(W)}\\[10pt] \end{aligned} \end{split}\]

Notamos que al aumentar las aletas mejoran la tasa de transferencia de calor.