IIQ2013 - Clase 20#

Se hacen circular \(6~\text{kg/s}\) de aire a \(1~\text{atm}\) y \(450~\text{K}\) a través de un intercambiador de calor compacto (ICC) modelo CF-8.72(c) de \(0.6\times0.8~\text{m}^2\) de área frontal y \(0.6~\text{m}\) de largo. Por el lado de los tubos (\(L = 0.8~\text{m}\)) circulan \(10~\text{kg/s}\) de agua a \(310~\text{K}\).

import handcalcs.render
import forallpeople
import numpy as np
import forallpeople as si
from CoolProp.CoolProp import PropsSI

si.environment('default', top_level=True)

Pregunta 1#

El valor del número de Reynolds para la corriente de aire (\(Re_{aire}\)) es aproximadamente:

a) \(Re_{aire}\) \(<\) \(1000\)
b) \(1000\) \(\leq\) \(Re_{aire}\) \(<\) \(2500\)
c) \(2500\) \(\leq\) \(Re_{aire}\) \(<\) \(5000\)
d) \(Re_{aire}\) \(\geq\) \(5000\)

Considere que \(\beta_{frontal} = 446 \text{m}^2\text{/m}^3\), en que \(\beta_{frontal}\) corresponde a la cara del ICC a travésde la cual ingresa (y sale) el aire. Propiedades termo-físicas: \(\mu_{aire} = 2.512 \times 10^{−5}~\text{Pa}\cdot\text{s}.\)

Solución#

Definimos las propiedades termofísicas del agua y el aire,

%%render params sci_not
cp_agua = PropsSI('C', 'P', 1e5, 'T', 310, 'water') * J / kg / K
mu_aire = PropsSI('viscosity', 'P', 1e5, 'T', 450, 'air')
\[ \begin{aligned} \mathrm{cp}_{agua} &= 4.179 \times 10^ {3}\ \mathrm{m}^{2} \cdot \mathrm{s}^{-2} \cdot \mathrm{K}^{-1} \; &\mu_{aire} &= 2.512 \times 10 ^ {-5} \; \end{aligned} \]
%%render params
F_ic = 6 * kg / s
A_ic = 0.6*0.8 * m**2 # Área frontal ICC
L_ic = 0.6 * m # Largo ICC

L_t = 0.8 * m # Largo tubos
F_t = 10 * kg / s
\[\begin{split} \begin{aligned} F_{ic} &= 6.000\ \mathrm{kg} \cdot \mathrm{s}^{-1} \; &A_{ic} &= 480000.000\ \mathrm{mm}^{2} \; \;\textrm{(Área frontal ICC)} &L_{ic} &= 600.000\ \mathrm{mm} \; \;\textrm{(Largo ICC)} \\[10pt] L_{t} &= 800.000\ \mathrm{mm} \; \;\textrm{(Largo tubos)} &F_{t} &= 10.000\ \mathrm{kg} \cdot \mathrm{s}^{-1} \; \end{aligned} \end{split}\]

Para calcular Reynolds, necesitamos el diámetro equivalente del ICC. Para el modelo cf-8.72(c),

%%render
sigma = 0.494
beta = 446 
D_h = 0.443*1e-2* m
mu_aire = mu_aire * Pa * s
G_ic = F_ic / A_ic
Re = G_ic * D_h /mu_aire
A_fr = A_ic
G_max = F_ic/(sigma*A_fr)
Re_nax = G_max * D_h /mu_aire
\[\begin{split} \begin{aligned} \sigma &= 0.494 \; \\[10pt] \beta &= 446 \; \\[10pt] D_{h} &= 0.443 \cdot 1 \times 10 ^ {-2} \cdot m = 0.443 \cdot 1 \times 10 ^ {-2} \cdot m &= 4.430\ \mathrm{mm} \\[10pt] \mu_{aire} &= \mu_{aire} \cdot \mathrm{Pa} \cdot s \\&= 0.000\ \mathrm{kg} \cdot \mathrm{m}^{-1} \cdot \mathrm{s}^{-1} \cdot Pa \cdot s \\&= 0.000\ \mathrm{kg} \cdot \mathrm{m}^{-1} \cdot \mathrm{s}^{-1} \\[10pt] \\[10pt] G_{ic} &= \frac{ F_{ic} }{ A_{ic} } = \frac{ 6.000\ \mathrm{kg} \cdot \mathrm{s}^{-1} }{ 480000.000\ \mathrm{mm}^{2} } &= 12.500\ \mathrm{kg} \cdot \mathrm{m}^{-2} \cdot \mathrm{s}^{-1} \\[10pt] \mathrm{Re} &= G_{ic} \cdot \frac{ D_{h} }{ \mu_{aire} } = 12.500\ \mathrm{kg} \cdot \mathrm{m}^{-2} \cdot \mathrm{s}^{-1} \cdot \frac{ 4.430\ \mathrm{mm} }{ 0.000\ \mathrm{kg} \cdot \mathrm{m}^{-1} \cdot \mathrm{s}^{-1} } &= 2204.083 \\[10pt] A_{fr} &= 480000.000\ \mathrm{mm}^{2} \; \\[10pt] G_{max} &= \frac{ F_{ic} }{ \sigma \cdot A_{fr} } = \frac{ 6.000\ \mathrm{kg} \cdot \mathrm{s}^{-1} }{ 0.494 \cdot 480000.000\ \mathrm{mm}^{2} } &= 25.304\ \mathrm{kg} \cdot \mathrm{m}^{-2} \cdot \mathrm{s}^{-1} \\[10pt] \mathrm{Re}_{nax} &= G_{max} \cdot \frac{ D_{h} }{ \mu_{aire} } = 25.304\ \mathrm{kg} \cdot \mathrm{m}^{-2} \cdot \mathrm{s}^{-1} \cdot \frac{ 4.430\ \mathrm{mm} }{ 0.000\ \mathrm{kg} \cdot \mathrm{m}^{-1} \cdot \mathrm{s}^{-1} } &= 4461.706 \end{aligned} \end{split}\]

Notar que el número de Reynolds relevante para cálculos de pérdida de carga y transferencia de calor es \(Re_{max}\).

Por lo tanto, la alternativa correcta es c)

Pregunta 2#

El coeficiente de transferencia de calor por convección para el aire (\(h_{aire}\)) es aproximadamente:

(a) \(h_{aire}\) \(<\) \(200\) \(\text{W/m}^2\cdot\text{K}\)
(b) \(200\) \(\leq\) \(h_{aire}\) \(<\) \(500\) \(\text{W/m}^2\cdot\text{K}\)
(c) \(500\) \(\leq\) \(h_{aire}\) \(<\) \(1000\) \(\text{W/m}^2\cdot\text{K}\)
(d) \(h_{aire}\) \(\geq\) \(1000\) \(\text{W/m}^2\cdot\text{K}\)

Propiedades termo-físicas: \(c_{p,~aire} = 1021.105~\text{J/kg}\cdot\text{K}\), \(Pr_{aire} = 0.7\).

Solución#

Primero calculamos el Factor de Colburn \(j_H\). Desde el gráfico y para la superficie CF-8.72(c), tenemos que

%%render
j_H = 0.007
cp_aire = PropsSI('C', 'P', 1e5, 'T', 450, 'air')
Pr_aire = PropsSI('Prandtl', 'P', 1e5, 'T', 450, 'air')
cp_aire = cp_aire * J / kg / K
h_aire = G_max * cp_aire * j_H / Pr_aire**(2/3)
\[\begin{split} \begin{aligned} j_{H} &= 0.007 \; \\[10pt] \mathrm{cp}_{aire} &= 1021.105\ \mathrm{m}^{2} \cdot \mathrm{s}^{-2} \cdot \mathrm{K}^{-1} \; \\[10pt] \mathrm{Pr}_{aire} &= 0.698 \; \\[10pt] \mathrm{cp}_{aire} &= \mathrm{cp}_{aire} \cdot \frac{ J }{ \mathrm{kg} } \cdot \frac{1} { K } = 1021.105\ \mathrm{m}^{2} \cdot \mathrm{s}^{-2} \cdot \mathrm{K}^{-1} \cdot \frac{ J }{ kg } \cdot \frac{1} { K } &= 1021.105\ \mathrm{m}^{2} \cdot \mathrm{s}^{-2} \cdot \mathrm{K}^{-1} \\[10pt] h_{aire} &= G_{max} \cdot \mathrm{cp}_{aire} \cdot \frac{ j_{H} }{ \left( \mathrm{Pr}_{aire} \right) ^{ \left( \frac{ 2 }{ 3 } \right) } } \\&= 25.304\ \mathrm{kg} \cdot \mathrm{m}^{-2} \cdot \mathrm{s}^{-1} \cdot 1021.105\ \mathrm{m}^{2} \cdot \mathrm{s}^{-2} \cdot \mathrm{K}^{-1} \cdot \frac{ 0.007 }{ \left( 0.698 \right) ^{ \left( \frac{ 2 }{ 3 } \right) } } \\&= 229.877\ \mathrm{kg} \cdot \mathrm{s}^{-3} \cdot \mathrm{K}^{-1} \\[10pt] \end{aligned} \end{split}\]

Por lo tanto la alternativa correcta es b).

Pregunta 3#

Si \(h_{agua} = 200~\text{W/m}^2\cdot\text{K}\) y la eficiencia del arreglo del ICC es de \(\eta_o = 0.91\), el valor del coeficiente global de transferencia de calor (\(U\)) es aproximadamente el siguiente:

(a) \(U\) \(<\) \(200\) \(\text{W/m}^2\cdot\text{K}\)
(b) \(200\) \(\leq\) \(U\) \(<\) \(\text{W/m}^2\cdot\text{K}\)
(c) \(500\) \(\leq\) \(U\) \(<\) \(1000\) \(\text{W/m}^2\cdot\text{K}\)
(d) \(U\) \(\geq\) \(1000\) \(\text{W/m}^2\cdot\text{K}\)

Considere que \(\beta_{lateral} = 59.2~\text{m}^2\text{/m}^3\), en que \(\beta_{lateral}\) corresponde a la cara del ICC a través de la cual ingresa (y sale) agua. Para reflexión posterior. ¿Cómo haría para estimar hagua a partir de los datos?

Solución#

Calcularemos el coeficiente global de transferencia de calor despreciando el ensuciamiento. CF-8.72 es un arreglo de tubos con aletas.

La razón entre el área de flujo externo del aire y el área de flujo interno del agua es simplemente la razón de las áreas superficiales por unidad de volumen,

\[ \frac{A_o}{A_i} = \frac{V \beta}{V \beta_{lat}} = \frac{\beta}{\beta_{lat}}\]

Esto se debe a que la configuración de intercambiadores de calor compactos es a flujo cruzado.

%%render
eta_0 = 0.91
beta_lat = 59.2
h_agua = 200 * W / m**2 / K
Af_a = 0.876
# Aproximación al área de los tubos
A_b = 1 - Af_a
U = ( 1/(eta_0 * h_aire) * (beta_lat/beta) + 1 / h_agua)**(-1)
\[\begin{split} \begin{aligned} \eta_{0} &= 0.910 \; \\[10pt] \beta_{lat} &= 59.200 \; \\[10pt] h_{agua} &= 200 \cdot \frac{ W }{ \left( m \right) ^{ 2 } } \cdot \frac{1} { K } = 200 \cdot \frac{ W }{ \left( m \right) ^{ 2 } } \cdot \frac{1} { K } &= 200.000\ \mathrm{kg} \cdot \mathrm{s}^{-3} \cdot \mathrm{K}^{-1} \\[10pt] \mathrm{Af}_{a} &= 0.876 \; \\[10pt] A_{b} &= 1 - \mathrm{Af}_{a} = 1 - 0.876 &= 0.124 \\[10pt] U &= \left( \frac{ 1 }{ \eta_{0} \cdot h_{aire} } \cdot \left( \frac{ \beta_{lat} }{ \beta } \right) + \frac{ 1 }{ h_{agua} } \right) ^{ \left( - 1 \right) } \\&= \left( \frac{ 1 }{ 0.910 \cdot 229.877\ \mathrm{kg} \cdot \mathrm{s}^{-3} \cdot \mathrm{K}^{-1} } \cdot \left( \frac{ 59.200 }{ 446 } \right) + \frac{ 1 }{ 200.000\ \mathrm{kg} \cdot \mathrm{s}^{-3} \cdot \mathrm{K}^{-1} } \right) ^{ \left( - 1 \right) } \\&= 177.477\ \mathrm{kg} \cdot \mathrm{s}^{-3} \cdot \mathrm{K}^{-1} \\[10pt] \end{aligned} \end{split}\]

Por lo tanto la alternativa correcta es a)

Pregunta 4#

La temperatura del agua a la salida del ICC (\(T_{agua,~o}\)) es aproximadamente la siguiente:

(a) \(T_{agua,~o}\) \(<\) \(328\) \(\text{K}\)
(b) \(328\) \(\leq\) \(T_{agua,~o}\) \(<\) \(340\) \(\text{K}\)
(c) \(340\) \(\leq\) \(T_{agua,~o}\) \(<\) \(350\) \(\text{K}\)
(d) \(T_{agua,~o}\) \(\geq\) \(350\) \(\text{K}\)

Propiedades termo-físicas: \(c_{p,~agua} = 4178.2~\text{J/kg}\cdot\text{K}\).

Solución#

Para calcular la temperatura de salida del ICC, podemos buscar el factor de corrección para un flujo perfectamente mezclado y el otro fluido sin mezclar.

Utilizaremos el método de efectividad NTU, utilizando las fórmulas de la clase 20. Para un IC de flujo cruzado, con un fluido mezclado y el otro sin mezclar, tenemos que.

%%render
C_c = F_t * cp_agua
C_h = F_ic * cp_aire
\[\begin{split} \begin{aligned} C_{c} &= F_{t} \cdot \mathrm{cp}_{agua} \\&= 10.000\ \mathrm{kg} \cdot \mathrm{s}^{-1} \cdot 4179.245\ \mathrm{m}^{2} \cdot \mathrm{s}^{-2} \cdot \mathrm{K}^{-1} \\&= 41792.449\ \mathrm{kg} \cdot \mathrm{m}^{2} \cdot \mathrm{s}^{-3} \cdot \mathrm{K}^{-1} \\[10pt] \\[10pt] C_{h} &= F_{ic} \cdot \mathrm{cp}_{aire} \\&= 6.000\ \mathrm{kg} \cdot \mathrm{s}^{-1} \cdot 1021.105\ \mathrm{m}^{2} \cdot \mathrm{s}^{-2} \cdot \mathrm{K}^{-1} \\&= 6126.629\ \mathrm{kg} \cdot \mathrm{m}^{2} \cdot \mathrm{s}^{-3} \cdot \mathrm{K}^{-1} \\[10pt] \end{aligned} \end{split}\]

El agua tiene una mayor capacidad, por lo tanto

%%render
C_r = C_h/C_c
\[ \begin{aligned} C_{r} &= \frac{ C_{h} }{ C_{c} } = \frac{ 6126.629\ \mathrm{kg} \cdot \mathrm{m}^{2} \cdot \mathrm{s}^{-3} \cdot \mathrm{K}^{-1} }{ 41792.449\ \mathrm{kg} \cdot \mathrm{m}^{2} \cdot \mathrm{s}^{-3} \cdot \mathrm{K}^{-1} } &= 0.147 \end{aligned} \]

Notemos que calculamos el coeficiente global de transferencia de calor basado en área interna. Por lo tanto, para el calculo de NTU utilizaremos esa área.

%%render
A_i = beta_lat * (A_ic * L_ic) / m
NTU = (U*A_i)/C_h
epsilon = 1 - np.exp( (np.exp(-C_r*NTU)-1) / C_r)
\[\begin{split} \begin{aligned} A_{i} &= \beta_{lat} \cdot \frac{ A_{ic} \cdot L_{ic} }{ m } = 59.200 \cdot \frac{ 480000.000\ \mathrm{mm}^{2} \cdot 600.000\ \mathrm{mm} }{ m } &= 17.050\ \mathrm{m}^{2} \\[10pt] \mathrm{NTU} &= \frac{ U \cdot A_{i} }{ C_{h} } = \frac{ 177.477\ \mathrm{kg} \cdot \mathrm{s}^{-3} \cdot \mathrm{K}^{-1} \cdot 17.050\ \mathrm{m}^{2} }{ 6126.629\ \mathrm{kg} \cdot \mathrm{m}^{2} \cdot \mathrm{s}^{-3} \cdot \mathrm{K}^{-1} } &= 0.494 \\[10pt] \epsilon &= 1 - \mathrm{np.exp} \left( \frac{ \mathrm{np.exp} \left( \left( - C_{r} \right) \cdot \mathrm{NTU} \right) - 1 }{ C_{r} } \right) = 1 - np.exp \left( \frac{ np.exp \left( \left( - 0.147 \right) \cdot 0.494 \right) - 1 }{ 0.147 } \right) &= 0.379 \end{aligned} \end{split}\]

Primero calculamos la temperatura del aire a la salida

%%render
T_hi = 450 * K
T_ci = 310 * K
T_ho = T_hi - epsilon * (T_hi-T_ci)
\[\begin{split} \begin{aligned} T_{hi} &= 450 \cdot K = 450 \cdot K &= 450.000\ \mathrm{°C} \\[10pt] T_{ci} &= 310 \cdot K = 310 \cdot K &= 310.000\ \mathrm{°C} \\[10pt] T_{ho} &= T_{hi} - \epsilon \cdot \left( T_{hi} - T_{ci} \right) = 450.000\ \mathrm{°C} - 0.379 \cdot \left( 450.000\ \mathrm{°C} - 310.000\ \mathrm{°C} \right) &= 396.939\ \mathrm{°C} \end{aligned} \end{split}\]

Ahora pudemos calcular la temperatura del fluido frío mediante balance de energía

%%render
T_co = (T_hi-T_ho) * C_r + T_ci
\[ \begin{aligned} T_{co} &= \left( T_{hi} - T_{ho} \right) \cdot C_{r} + T_{ci} = \left( 450.000\ \mathrm{°C} - 396.939\ \mathrm{°C} \right) \cdot 0.147 + 310.000\ \mathrm{°C} &= 317.779\ \mathrm{°C} \end{aligned} \]

El agua tan solo cambia levemente su temperatura. Nótese que en estricto rigor deberíamos re-evaluar las propiedades termofísicas de ambas corrientes a la temperatura promedio.

Método 2: \(F_t\)#

Notar que ya calculamos la efectividad. Ah

En este caso, el fluido que se calienta (agua) tiene mayor capacidad que el fluido que se enfría. Por lo tanto, la razón entre el cambio de temperatura del fluido que se enfría y el que se calienta es igual a \(1/C_r\).

%%render
Z = 1/C_r
P = (T_co - T_ci)/(T_hi-T_ci)
\[\begin{split} \begin{aligned} Z &= \frac{ 1 }{ C_{r} } = \frac{ 1 }{ 0.147 } &= 6.821 \\[10pt] P &= \frac{ T_{co} - T_{ci} }{ T_{hi} - T_{ci} } = \frac{ 317.779\ \mathrm{°C} - 310.000\ \mathrm{°C} }{ 450.000\ \mathrm{°C} - 310.000\ \mathrm{°C} } &= 0.056 \end{aligned} \end{split}\]

Para estas condiciones, \(F_T \approx 0.99 \)

%%render
dT_ml = ((T_hi-T_co) - (T_ho-T_ci)) / np.log((T_hi-T_co)/(T_ho-T_ci))
\[\begin{split} \begin{aligned} \mathrm{dT}_{ml} &= \frac{ \left( T_{hi} - T_{co} \right) - \left( T_{ho} - T_{ci} \right) }{ \mathrm{np.log} \left( \frac{ T_{hi} - T_{co} }{ T_{ho} - T_{ci} } \right) } \\&= \frac{ \left( 450.000\ \mathrm{°C} - 317.779\ \mathrm{°C} \right) - \left( 396.939\ \mathrm{°C} - 310.000\ \mathrm{°C} \right) }{ np.log \left( \frac{ 450.000\ \mathrm{°C} - 317.779\ \mathrm{°C} }{ 396.939\ \mathrm{°C} - 310.000\ \mathrm{°C} } \right) } \\&= 108.002\ \mathrm{°C} \\[10pt] \end{aligned} \end{split}\]

Chequeo#

%%render
F_t = 0.99
Q = U*A_i * dT_ml * F_t
\[\begin{split} \begin{aligned} F_{t} &= 0.990 \; \\[10pt] Q &= U \cdot A_{i} \cdot \mathrm{dT}_{ml} \cdot F_{t} \\&= 177.477\ \mathrm{kg} \cdot \mathrm{s}^{-3} \cdot \mathrm{K}^{-1} \cdot 17.050\ \mathrm{m}^{2} \cdot 108.002\ \mathrm{°C} \cdot 0.990 \\&= 323.538\ \mathrm{kW} \\[10pt] \end{aligned} \end{split}\]
%%render
T_co2 = T_ci + Q/C_c
\[ \begin{aligned} T_{co2} &= T_{ci} + \frac{ Q }{ C_{c} } = 310.000\ \mathrm{°C} + \frac{ 323.538\ \mathrm{kW} }{ 41792.449\ \mathrm{kg} \cdot \mathrm{m}^{2} \cdot \mathrm{s}^{-3} \cdot \mathrm{K}^{-1} } &= 317.742\ \mathrm{°C} \end{aligned} \]

Por lo tanto, el método efectividad-NTU entregó excelentes resultados que son consistentes con el método \(\Delta T_{ml}\)