Ejercicio 1: Ecuación de Bernoulli

Enunciado

Un estanque cilíndrico de diámetro \(d_e=10\hspace{1mm}(m)\) se llena de agua hasta alcanzar los \(25\hspace{1mm}(m)\) de altura. En su parte inferior se encuentra una tubería conectada a una válvula. Al abrir la válvula, el agua fluye por la tubería y el estanque se vacía. La tubería tiene un área transversal circular y con diámetro \(d_t=13\hspace{1mm}(cm)\). Ignore las pérdidas de carga por fricción y singularidades. Además, suponga que la presión en la tubería es igual a la presión de la superficie del fluido en el estanque. Calcule:

1. El caudal que sale por la tubería al momento de abrir la válvula.

2. El tiempo que se demora el estanque en vaciarse por completo.

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Solución

#Paquetes utilizados
import handcalcs.render
from handcalcs import handcalc
from math import sqrt, pi

Inciso 1

Tenemos que la ecuación de Bernoulli,

\[ \frac{p_A}{g\rho} + H_A + \frac{u_A^2}{2g} = \frac{p_B}{g\rho} + H_B + \frac{u_B^2}{2g} \]

Aplicada al caso descrito

\[ H_A = \frac{u_B^2}{2g} \]

Y luego despejando para la velocidad en el punto inferior (B), nos queda como:

(1)\[ u_B = \sqrt{2gH_A} \]

Finalmente resolviendo:

%%render long
H_A = 25 #m
g = 9.8 #m/s2
u_B = sqrt(2*g*H_A) #m/s

\[\begin{split} \begin{aligned} H_{A} &= 25 \; \;\textrm{(m)} \\[10pt] g &= 9.800 \; \;\textrm{(m/s2)} \\[10pt] u_{B} &= \sqrt { 2 \cdot g \cdot H_{A} } \\&= \sqrt { 2 \cdot 9.800 \cdot 25 } \\&= 22.136 \; \;\textrm{(m/s)}\\[10pt] \end{aligned} \end{split}\]

Luego, el caudal será

(2)\[ Q = u_BA \]

%%render long
d_t = 0.13 #m 
A = pi*(d_t/2)**2 #m2
Q = u_B*A #m3/s

\[\begin{split} \begin{aligned} d_{t} &= 0.130 \; \;\textrm{(m)} \\[10pt] A &= \pi \cdot \left( \frac{ d_{t} }{ 2 } \right) ^{ 2 } \\&= 3.142 \cdot \left( \frac{ 0.130 }{ 2 } \right) ^{ 2 } \\&= 0.013 \; \;\textrm{(m2)}\\[10pt] \\[10pt] Q &= u_{B} \cdot A \\&= 22.136 \cdot 0.013 \\&= 0.294 \; \;\textrm{(m3/s)}\\[10pt] \end{aligned} \end{split}\]

Inciso 2

El caudal también puede ser escrito como:

\[ Q = - \frac{dV}{dt} \]

Ya que el diámetro del estanque se mantiene constante

\[ Q = -\pi\left(\frac{d_e}{2}\right)^2\frac{dH_A}{dt} \]

Al reemplazar la ecuación (1) en (2) e igualando,

\[ \sqrt{2gH_A}\left(\pi\left(\frac{d_t}{2}\right)^2\right) = -\pi\left(\frac{d_e}{2}\right)^2\frac{dH_A}{dt} \]

Reordenando los términos,

\[ -H_A^{-\frac{1}{2}}dH_A = \sqrt{2g}\left(\frac{d_t}{d_e}\right)^2dt \]

Inicialmente la altura del líquido es de \(25\hspace{1mm}(m)\) hasta que en el tiempo final se vacía.

\[ -\int_{25}^{0}H_A^{-\frac{1}{2}}dH_A = \sqrt{2g}\left(\frac{d_t}{d_e}\right)^2 \int_0^{t_T}dt \]

Finalmente,

\[ t_T = 2\sqrt{\frac{25}{2g}}\left(\frac{d_e}{d_t}\right)^2 \]

%%render long
d_e = 10 #m
t_T = 2*sqrt(25/2*g)*(d_e/d_t)**2 #s
## O
t = t_T/3600 #h

\[\begin{split} \begin{aligned} d_{e} &= 10 \; \;\textrm{(m)} \\[10pt] t_{T} &= 2 \cdot \sqrt { \frac{ 25 }{ 2 } \cdot g } \cdot \left( \frac{ d_{e} }{ d_{t} } \right) ^{ 2 } \\&= 2 \cdot \sqrt { \frac{ 25 }{ 2 } \cdot 9.800 } \cdot \left( \frac{ 10 }{ 0.130 } \right) ^{ 2 } \\&= 130981.915 \; \;\textrm{(s)}\\[10pt] \\[10pt] & \textrm{ O}\\[10pt] t &= \frac{ t_{T} }{ 3600 } \\&= \frac{ 130981.915 }{ 3600 } \\&= 36.384 \; \;\textrm{(h)}\\[10pt] \end{aligned} \end{split}\]