Ejercicio 3: Hidroestática 2

Enunciado

Usted cuenta con un estanque conectado a dos tuberías abiertas. Una de ellas se encuentra expuesta a 2 veces la presión atmosférica, mientras que la otra percibe una presión de \(195.3 kPa\). Este sistema se compone de 3 fluidos inmiscibles, el fluido A con densidad de \(\rho_A = 1306 \hspace{1mm}(kg/m^3)\), el fluido B con \(\rho_B = 2588 \hspace{1mm}(kg/m^3)\) y el fluido C con \(\rho_C = 8970.15 \hspace{1mm}(kg/m^3)\). En la figura se observan las dimensiones del sistema, con las cuales se le pide encontrar la altura X de la tubería en donde se encuentra el fluido A. Para esto responda lo siguiente:

1. Marque los puntos en los cuales usted encuentre conveniente igualar las presiones del sistema completo.

2. Calcule la altura X en metros.

Asuma la gravedad como \(g = 9.8 \hspace{1mm}(m/s^2)\)

Fig. 2 Sistema de tuberías y estanque.

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Solución

#Paquetes utilizados
import handcalcs.render
from handcalcs import handcalc
from math import sin, pi

Inciso 1

Inciso 2

Sabemos del enunciado lo siguiente:

%%render long
p_1 = 202650 #Pa
p_4 = 195300 #Pa
g = 9.8 #m/s2
rho_A = 1306 #kg/m3
rho_B = 2588 #kg/m3
rho_C = 8970.15 #kg/m3

\[\begin{split} \begin{aligned} p_{1} &= 202650 \; \;\textrm{(Pa)} \\[10pt] p_{4} &= 195300 \; \;\textrm{(Pa)} \\[10pt] g &= 9.800 \; \;\textrm{(m/s2)} \\[10pt] \rho_{A} &= 1306 \; \;\textrm{(kg/m3)} \\[10pt] \rho_{B} &= 2588 \; \;\textrm{(kg/m3)} \\[10pt] \rho_{C} &= 8970.150 \; \;\textrm{(kg/m3)} \end{aligned} \end{split}\]

Primero, calculamos la diferencia de presiones entre el punto 1 y el 2. Para esto, necesitamos saber la altura que hay entre ambos. La parte vertical es:

%%render long
h_vert = 3 #m

\[ \begin{aligned} h_{vert} &= 3 \; \;\textrm{(m)} \end{aligned} \]

Mientras que la parte inclinada llega hasta el punto 2, cuya altura en el eje Y es:

%%render long
h_incl = (5 - 1/sin(pi/4))*sin(pi/4) #m

\[\begin{split} \begin{aligned} h_{incl} &= \left( 5 - \frac{ 1 }{ \sin \left( \frac{ \pi }{ 4 } \right) } \right) \cdot \sin \left( \frac{ \pi }{ 4 } \right) \\&= \left( 5 - \frac{ 1 }{ \sin \left( \frac{ 3.142 }{ 4 } \right) } \right) \cdot \sin \left( \frac{ 3.142 }{ 4 } \right) \\&= 2.536 \; \;\textrm{(m)}\\[10pt] \end{aligned} \end{split}\]

Notese que le restamos el trozo de la tubería que esta compuesta por el fluido C. Tal que la presión en el punto 2 será:

%%render long
p_2 = p_1 + g*(h_vert+h_incl)*rho_B #Pa

\[\begin{split} \begin{aligned} p_{2} &= p_{1} + g \cdot \left( h_{vert} + h_{incl} \right) \cdot \rho_{B} \\&= 202650 + 9.800 \cdot \left( 3 + 2.536 \right) \cdot 2588 \\&= 343044.425 \; \;\textrm{(Pa)}\\[10pt] \end{aligned} \end{split}\]

La presión en los puntos 2 y 2* son equivalentes. Luego la presión en el punto 3 será:

%%render long
p_3 = p_2 - g*1*rho_C #Pa

\[\begin{split} \begin{aligned} p_{3} &= p_{2} - g \cdot 1 \cdot \rho_{C} \\&= 343044.425 - 9.800 \cdot 1 \cdot 8970.150 \\&= 255136.955 \; \;\textrm{(Pa)}\\[10pt] \end{aligned} \end{split}\]

Luego entre el punto 3 y el 4, y despejando X llegamos a la siguiente expresión.

%%render long
X = (p_3-p_4)/(g*rho_A) - 2 #m

\[\begin{split} \begin{aligned} X &= \frac{ p_{3} - p_{4} }{ g \cdot \rho_{A} } - 2 \\&= \frac{ 255136.955 - 195300 }{ 9.800 \cdot 1306 } - 2 \\&= 2.675 \; \;\textrm{(m)}\\[10pt] \end{aligned} \end{split}\]