Inciso 1
Del balance de energía tenemos que:
\[
d\left(u+pv\right) + g\cdot dz + d\left(\frac{V^2}{2}\right) = \frac{dW}{dm} + \frac{dQ}{dm}
\]
Luego, al tener una tubería horizontal y sin trabajo de eje:
(6)\[
v\cdot dp + V\cdot dV = -\left(\left(du + p\cdot dv\right) - \frac{dQ}{dm}\right)
\]
Ya que
(7)\[
-\left(\left(du + p\cdot dv\right) - \frac{dQ}{dm}\right) = -4f\left(\frac{dl}{D_{eq}}\right)\left(\frac{V^2}{2}\right)
\]
Reemplazando (7) en (6), cambiando la velocidad como \(V = Gv/A\) y reordenando los términos:
\[
\int_{p_1}^{p_2}\frac{dp}{v} + \left(\frac{G}{A}\right)^2\left(\ln\left(\frac{v_2}{v_1}\right) + 2f\frac{L}{D_{eq}}\right) = 0
\]
Primero calculamos el primer componente de la ecuación:
\[
\int_{p_1}^{p_2}\frac{dp}{v}
\]
Ya que en el enunciado nos dicen que \(pv +\psi p^2 =cte\). Entonces podemos despejar \(v\) en función de \(p\).
\[
pv+\psi p^2 = p_1v_1+\psi p_1^2 ~ \Rightarrow ~ v = \frac{p_1v_1 + \psi p_1^2 - \psi p^2}{p} ~ \Rightarrow ~ \frac{1}{v} = \frac{p}{p_1v_1 + \psi p_1^2 - \psi p^2}
\]
Luego
\[
\int_{p_1}^{p_2} \frac{p}{p_1v_1 + \psi p_1^2 - \psi p^2} dp = -\frac{1}{2\psi}\left.\left[\ln\left(p_1v_1+\psi p_1^2-\psi p^2\right)\right]\right|_{p_1}^{p_2}
\]
\[
= -\frac{1}{2\psi}\left[\ln\left(\psi p_1^2+p_1v_1-\psi p_2^2\right) - \ln\left(p_1v_1\right)\right] = -\frac{1}{2\psi}\left[\ln\left(\frac{p_1v_1+\psi(p_1^2 - p_2^2)}{p_1v_1}\right)\right]
\]
Luego, reemplazamos el término \(\ln(v_2/v_1)\) utilizando la expresión para \(v\) encontrada anteriormente.
\[
\ln\left(\frac{v_2}{v_1}\right) = \ln\left(\frac{p_1v_1+\psi(p_1^2-p_2^2)}{p_2v_1}\right)
\]
De manera que encontramos la expresión para el balance de energía de nuestro flujo:
\[
-\frac{1}{2\psi}\left[\ln\left(\frac{p_1v_1+\psi(p_1^2 - p_2^2)}{p_1v_1}\right)\right] + \left(\frac{G}{\text{A}}\right)^2\left(\ln\left(\frac{p_1v_1+\psi(p_1^2-p_2^2)}{p_2v_1}\right) + 2f\frac{L}{D_{eq}}\right) = 0
\]
Inciso 2
Para simplificar la resolución del problema, separamos el balance de energía, tal que:
\[
k_1 = \frac{1}{2\psi}\left[\ln\left(\frac{p_1v_1+\psi(p_1^2 - p_2^2)}{p_1v_1}\right)\right]
\]
\[
k_2 = \ln\left(\frac{p_1v_1+\psi(p_1^2-p_2^2)}{p_2v_1}\right)
\]
\[
k_3 = 2f\frac{L}{D_{eq}}
\]
Luego el balance encontrado en el inciso anterior nos queda como:
\[
-k_1 + \left(\frac{G}{A}\right)^2(k_2+k_3) = 0 \hspace{1.5cm}\Rightarrow\hspace{1.5cm} \left(\frac{G}{A}\right)^2 = \frac{k_1}{k_2+k_3}
\]
Para \(k_1\) y \(k_2\), encontramos el volumen másico \(v_1\).
\[
v_1 = \frac{RT}{M_Wp_1}
\]
\[\begin{split}
\begin{aligned}
R &= 8.314 \; \;\textrm{(J/mol$\cdot$K)}
\\[10pt]
M_{W} &= 0.016 \; \;\textrm{(kg/mol)}
\\[10pt]
T &= 313.150 \; \;\textrm{(K)}
\\[10pt]
p_{1} &= 48000000.000 \; \;\textrm{(Pa)}
\\[10pt]
v_{1} &= \frac{ R \cdot T }{ M_{W} \cdot p_{1} } \\&= \frac{ 8.314 \cdot 313.150 }{ 0.016 \cdot 48000000.000 } \\&= 0.003 \; \;\textrm{(m$^3$/kg)}\\[10pt]
\end{aligned}
\end{split}\]
Para \(k_3\) buscamos \(f\). Ya que para fluidos compresibles podemos asumir que \(\text{Re}\rightarrow\infty\), usaremos la ecuación de Colebrook-White.
\[
\frac{1}{\sqrt{f_{T}}} = -1.737\ln\left(0.269\frac{\varepsilon}{D}+\frac{1.257}{Re\sqrt{f_T}}\right)
\]
Tal que
\[
f_T = \left(\frac{1}{-1.737\ln\left(0.269\frac{\varepsilon}{D}\right)}\right)^2
\]
\[\begin{split}
\begin{aligned}
\epsilon &= 0.000 \; \;\textrm{(m)}
\\[10pt]
D &= 0.070 \; \;\textrm{(m)}
\\[10pt]
f &= \left( \frac{ 1 }{ \left( - 1.737 \right) \cdot \ln \left( 0.269 \cdot \left( \frac{ \epsilon }{ D } \right) \right) } \right) ^{ 2 } \\&= \left( \frac{ 1 }{ \left( - 1.737 \right) \cdot \ln \left( 0.269 \cdot \left( \frac{ 0.000 }{ 0.070 } \right) \right) } \right) ^{ 2 } \\&= 0.006 \\[10pt]
\end{aligned}
\end{split}\]
Con los datos obtenidos, se procede a calcular el valor de cada \(k\).
\[\begin{split}
\begin{aligned}
p_{2} &= 5000000.000 \; \;\textrm{(Pa)}
\\[10pt]
L &= 1000 \; \;\textrm{(m)}
\\[10pt]
\psi &= 0.000 \; \;\textrm{(m$^3$/mol$\cdot$Pa)}
\\[10pt]
k_{1} &= \frac{ 1 }{ 2 \cdot \psi } \cdot \ln \left( \frac{ \psi \cdot \left( \left( p_{1} \right) ^{ 2 } - \left( p_{2} \right) ^{ 2 } \right) + p_{1} \cdot v_{1} }{ p_{1} \cdot v_{1} } \right) \\&= \frac{ 1 }{ 2 \cdot 0.000 } \cdot \ln \left( \frac{ 0.000 \cdot \left( \left( 48000000.000 \right) ^{ 2 } - \left( 5000000.000 \right) ^{ 2 } \right) + 48000000.000 \cdot 0.003 }{ 48000000.000 \cdot 0.003 } \right) \\&= 19426.468 \\[10pt]
\\[10pt]
k_{2} &= \ln \left( \frac{ p_{1} \cdot v_{1} + \psi \cdot \left( \left( p_{1} \right) ^{ 2 } + \left( p_{2} \right) ^{ 2 } \right) }{ p_{2} \cdot v_{1} } \right) \\&= \ln \left( \frac{ 48000000.000 \cdot 0.003 + 0.000 \cdot \left( \left( 48000000.000 \right) ^{ 2 } + \left( 5000000.000 \right) ^{ 2 } \right) }{ 5000000.000 \cdot 0.003 } \right) \\&= 17.825 \\[10pt]
\\[10pt]
k_{3} &= 2 \cdot f \cdot \left( \frac{ L }{ D } \right) \\&= 2 \cdot 0.006 \cdot \left( \frac{ 1000 }{ 0.070 } \right) \\&= 170.220 \\[10pt]
\end{aligned}
\end{split}\]
Finalmente, encontramos el valor para el flujo másico \(G\).
\[\begin{split}
\begin{aligned}
A &= \pi \cdot \left( \frac{ D }{ 2 } \right) ^{ 2 } \\&= 3.142 \cdot \left( \frac{ 0.070 }{ 2 } \right) ^{ 2 } \\&= 0.004 \; \;\textrm{(m$^2$)}\\[10pt]
\\[10pt]
G &= \sqrt { \frac{ k_{1} }{ k_{2} + k_{3} } } \cdot A \\&= \sqrt { \frac{ 19426.468 }{ 17.825 + 170.220 } } \cdot 0.004 \\&= 0.039 \; \;\textrm{(kg/s)}\\[10pt]
\end{aligned}
\end{split}\]
Encontramos que el flujo másico es de \(G = 0.039~(\text{kg/s})\).
