Ejercicio 1: Aletas#

Enunciado#

Se cuenta con una turbina utilizada para impulsar un gas a \(1200~^\circ\text{C}\). Sin embargo, un ingeniero mecánico le advierte que el material de la turbina aguanta hasta un máximo de \(1060~^\circ\text{C}\). Por este motivo, decide armar un sistema de enfriamiento que deja la base de la turbina constantemente a \(300~^\circ\text{C}\). Lo que aún no sabe es si las aspas (de largo \(L=0.05~\text{m}\)) de la turbina se mantendrán a una temperatura bajo la máxima. Usted sabe que la turbina mantiene un coeficiente de convección \(h=250~\text{W/m}^2\cdot\text{K}\) en sus aspas. Además, el área trasversal de la aspa es de \(A_c = 6\times 10^{-4}~\text{m}^2\) y su perímetro es de \(P=110~\text{mm}\). Si el material de la turbina tiene una conductividad térmica de \(20~\text{W/m}\cdot\text{K}\).

  1. Encuentre la temperatura que alcanza la punta del asta y compruebe si se encuentra en un rango aceptable de funcionamiento.

  2. Encuentre el calor tranfsferido al refrigerante.

Solución#

Inciso 1#

from numpy import cosh, sqrt, tanh
import handcalcs.render

Sabemos que un supuesto válido para aletas es el de punta de aleta adiabática. Para estas condiciones sabemos que la temperatura de exceso a lo largo de la aleta viene dado por:

\[ \frac{\theta(x)}{\theta_b} = \frac{\cosh{m(L-x)}}{\cosh mL} \]

Donde \(m\) será:

\[ m = \sqrt{\frac{hP}{kA_c}} \]

Para derterminar la temperatura en la punta del asta podemos utilizar la primera ecuación:

\[ T(L) = \frac{(T_b-T_{\infty})(1)}{\cosh{mL}}+T_{\infty} \]
%%render params
T_inf = 1200 #C
T_b = 300 #C
A_c = 6e-4 #m$^2$
P = 110/1000 #m
k = 20 #W/m$\cdot$K
L = 0.05 #m
h = 250 #W/m$^2\cdot$K
\[\begin{split} \begin{aligned} T_{inf} &= 1200 \; \;\textrm{(C)} &T_{b} &= 300 \; \;\textrm{(C)} &A_{c} &= 0.001 \; \;\textrm{(m$^2$)} \\[10pt] P &= 0.110 \; \;\textrm{(m)} &k &= 20 \; \;\textrm{(W/m$\cdot$K)} &L &= 0.050 \; \;\textrm{(m)} \\[10pt] h &= 250 \; \;\textrm{(W/m$^2\cdot$K)} \end{aligned} \end{split}\]
%%render long
m = sqrt((h*P)/(A_c*k))
T_L = (T_b-T_inf)/(cosh(m*L))+T_inf #$^\circ$C
\[\begin{split} \begin{aligned} m &= \sqrt { \frac{ h \cdot P }{ A_{c} \cdot k } } \\&= \sqrt { \frac{ 250 \cdot 0.110 }{ 0.001 \cdot 20 } } \\&= 47.871 \\[10pt] \\[10pt] T_{L} &= \frac{ T_{b} - T_{inf} }{ \cosh \left( m \cdot L \right) } + T_{inf} \\&= \frac{ 300 - 1200 }{ \cosh \left( 47.871 \cdot 0.050 \right) } + 1200 \\&= 1037.013 \; \;\textrm{($^\circ$C)}\\[10pt] \end{aligned} \end{split}\]

Ya que nos encontramos bajo \(1060~\text{°C}\) es aceptable.

Inciso 2#

Para aletas que cumplan las ecuaciones descritas anterioremente para \(\theta(x)\), se puede derivar a partir de la ley de Fourier la siguiente ecuación:

\[ q_f = \sqrt{hPkA_c}\theta_b\tanh{mL} \]
%%render long
theta_b = T_b-T_inf #$^\circ$C~o~K
q_f = sqrt(h*P*k*A_c)*theta_b*tanh(m*L) #W
\[\begin{split} \begin{aligned} \theta_{b} &= T_{b} - T_{inf} \\&= 300 - 1200 \\&= -900 \; \;\textrm{($^\circ$C~o~K)}\\[10pt] \\[10pt] q_{f} &= \sqrt { h \cdot P \cdot k \cdot A_{c} } \cdot \theta_{b} \cdot \tanh \left( m \cdot L \right) \\&= \sqrt { 250 \cdot 0.110 \cdot 20 \cdot 0.001 } \cdot -900 \cdot \tanh \left( 47.871 \cdot 0.050 \right) \\&= -508.462 \; \;\textrm{(W)}\\[10pt] \end{aligned} \end{split}\]

Luego la aleta libera calor y la base lo percibe tal que \(-q_f = q_{refrig}\). Entonces el refrigerante recibe calor a \(508.46~\text{W}\).