IIQ2013 - Clase 16#

Se usa un intercambiador de calor de tubos y carcasa (ICTC) tipo 1-2 para enfriar \(20~\text{ton/h}\) de agua (flujo por el lado de la carcasa) de \(81\) a \(33\text{°C}\) usando \(120~\text{ton/h}\) de agua de enfriamiento a \(17~\text{°C}\) (flujo por el lado de los tubos). El ICTC dispone de \(Nt = 60\) tubos de \(1~\text{in}\) de diámetro nominal (\(D_0 = 2.54~\text{cm}\); \(D_i = 2.21~\text{cm}\)) y \(L = 2.44~\text{m}\) de largo ordenados según un arreglo cuadrado de \(1.25~\text{in}\) de paso dentro de una carcasa de \(D_c = 31.9~\text{cm}\) de diámetro.

Paquetes utilizados:

import numpy as np
from handcalcs import render
import forallpeople as si
from math import pi, log

si.environment('default', top_level=True)

Pregunta 1#

El área de transferencia de calor (\(A\)) del equipo es la siguiente:

a) \(A \leq 10~\text{m}^2\)
b) \(10 < A \leq 11~\text{m}^2\)
c) \(11 < A \leq 12~\text{m}^2\)
d) \(A > 12~\text{m}^2\)

Solución#

Primero anotamos todos los datos disponibles

%%render params
F_h = 20 * 1e3 / 3600 * kg / s
T_hi = 81 * K
T_ho = 33 * K

F_c = 120 * 1e3 / 3600 * kg / s
T_ci = 17 * K

N_t = 60 
d_o = 0.0254 * m
d_i = 0.0221 * m

L = 2.44 * m
\[\begin{split} \begin{aligned} F_{h} &= 5.556\ \mathrm{kg} \cdot \mathrm{s}^{-1} \; &T_{hi} &= 81.000\ \mathrm{°C} \; &T_{ho} &= 33.000\ \mathrm{°C} \; \\[10pt] F_{c} &= 33.333\ \mathrm{kg} \cdot \mathrm{s}^{-1} \; &T_{ci} &= 17.000\ \mathrm{°C} \; &N_{t} &= 60 \; \\[10pt] d_{o} &= 25.400\ \mathrm{mm} \; &d_{i} &= 22.100\ \mathrm{mm} \; &L &= 2.440\ \mathrm{m} \; \\[10pt] \end{aligned} \end{split}\]

El área de intercambio de calor puede calcularse directamente a partir de la geometría del tubo y del número de tubos del arreglo

\[ A = N_t \pi d_o L \]
%%render
A = N_t * pi * d_o * L
\[ \begin{aligned} A &= N_{t} \cdot \pi \cdot d_{o} \cdot L = 60 \cdot 3.142 \cdot 25.400\ \mathrm{mm} \cdot 2.440\ \mathrm{m} &= 11.682\ \mathrm{m}^{2} \end{aligned} \]

Por lo tanto, la alternativa correcta es c.

Pregunta 2#

La diferencia de temperatura relevante para el diseño del ICTC (\(\Delta T\)) es la siguiente:

a) \(\Delta T \leq 29~\text{°C}\)
b) \(29 <\Delta T \leq 30~\text{°C}\)
c) \(30 < \Delta T \leq 31~\text{°C}\)
d) \(\Delta T > 31~\text{°C}\)

Solución#

Ahora tenemos que calcular la diferencia de temperatura relevante para el diseño del intercambiador de calor de tubo y carcasa. Para ello, calculamos los factores \(Z\) y \(F_h\) con el propósito de estimar el factor de corrección \(F_T\).

%%render
Z = F_c/F_h
\[ \begin{aligned} Z &= \frac{ F_{c} }{ F_{h} } = \frac{ 33.333\ \mathrm{kg} \cdot \mathrm{s}^{-1} }{ 5.556\ \mathrm{kg} \cdot \mathrm{s}^{-1} } &= 6.000 \end{aligned} \]
%%render
T_co = (T_hi - T_ho)/Z + T_ci
\[ \begin{aligned} T_{co} &= \frac{ T_{hi} - T_{ho} }{ Z } + T_{ci} = \frac{ 81.000\ \mathrm{°C} - 33.000\ \mathrm{°C} }{ 6.000 } + 17.000\ \mathrm{°C} &= 25.000\ \mathrm{°C} \end{aligned} \]
%%render
eta_H = (T_co - T_ci) / (T_hi - T_ci)
\[ \begin{aligned} \eta_{H} &= \frac{ T_{co} - T_{ci} }{ T_{hi} - T_{ci} } = \frac{ 25.000\ \mathrm{°C} - 17.000\ \mathrm{°C} }{ 81.000\ \mathrm{°C} - 17.000\ \mathrm{°C} } &= 0.125 \end{aligned} \]

Utilizando la fórmula para el \(F_T\) de un ICTC 1-2,

def Ft_12(Z, eta):
    num = np.sqrt(Z**2 + 1) * np.log( (1-eta) / (1-eta*Z))
    den = (Z-1) * np.log ( (2-eta*(Z+1 - np.sqrt(Z**2+1)))
                          / (2-eta*(Z+1 + np.sqrt(Z**2+1))))
    F_t = num/den
    return F_t

F_t = Ft_12(Z, eta_H)

%%render
F_t = F_t
\[ \begin{aligned} F_{t} &= 0.928 \; \end{aligned} \]

Ahora calculamos \(\Delta T_{ml}\)

%%render
dT_h = T_hi - T_co
dT_c = T_ho - T_ci
dT_lm = (dT_h-dT_c)/log(dT_h/dT_c)

## Tal que la diferencia de temperaturas relevantes es:
dT = F_t * dT_lm
\[\begin{split} \begin{aligned} \mathrm{dT}_{h} &= T_{hi} - T_{co} = 81.000\ \mathrm{°C} - 25.000\ \mathrm{°C} &= 56.000\ \mathrm{°C} \\[10pt] \mathrm{dT}_{c} &= T_{ho} - T_{ci} = 33.000\ \mathrm{°C} - 17.000\ \mathrm{°C} &= 16.000\ \mathrm{°C} \\[10pt] \mathrm{dT}_{lm} &= \frac{ \mathrm{dT}_{h} - \mathrm{dT}_{c} }{ \ln \left( \frac{ \mathrm{dT}_{h} }{ \mathrm{dT}_{c} } \right) } = \frac{ 56.000\ \mathrm{°C} - 16.000\ \mathrm{°C} }{ \ln \left( \frac{ 56.000\ \mathrm{°C} }{ 16.000\ \mathrm{°C} } \right) } &= 31.929\ \mathrm{°C} \\[10pt] & \textrm{ Tal que la diferencia de temperaturas relevantes es:}\\[10pt] \mathrm{dT} &= F_{t} \cdot \mathrm{dT}_{lm} = 0.928 \cdot 31.929\ \mathrm{°C} &= 29.619\ \mathrm{°C} \end{aligned} \end{split}\]

Por lo tanto, la alternativa correcta es la b.

Pregunta 3#

Si la carcasa tiene \(N_B = 30\) deflectores segmentales igualmente espaciados, el coeficiente de transferencia de calor por convección para el agua caliente que circula por el lado de la carcasa (\(h_c\)) es el siguiente:

a) \(h_c < 3750~\text{W/m}^2\cdot\text{K}\)
b) \(3750 \leq h_c < 5000~\text{W/m}^2\cdot\text{K}\)
c) \(5000 \leq h_c < 7500~\text{W/m}^2\cdot\text{K}\)
d) \(h_c \geq 7500~\text{W/m}^2\cdot\text{K}\)

Considere los siguiente valores para las propiedades termofísicas del agua a \(57~\text{°C}\): \(\rho = 984~\text{kg/m}^3\); \(c_p = 4184~\text{J/kg}\cdot\text{K}\), \(\mu = 0.489\times10^{−3}~\text{Pa}\cdot\text{s}\); \(k = 0.650~\text{W/m}\cdot\text{K}\); y \(Pr = 3.148\).

Solución#

Parámetros geométricos y físicos,

%%render params
N_b = 30 # número de deflectores
B = L/N_b # espaciamiento entre deflectores
mu = 0.489e-3 * Pa * s
c_p = 4184 * J / kg / K
k = 0.65 * W / m / K
Pr = 3.148
\[\begin{split} \begin{aligned} N_{b} &= 30 \; \;\textrm{(número de deflectores)} &B &= 81.333\ \mathrm{mm} \; \;\textrm{(espaciamiento entre deflectores)} &\mu &= 0.000\ \mathrm{kg} \cdot \mathrm{m}^{-1} \cdot \mathrm{s}^{-1} \; \\[10pt] c_{p} &= 4184.000\ \mathrm{m}^{2} \cdot \mathrm{s}^{-2} \cdot \mathrm{K}^{-1} \; &k &= 0.650\ \mathrm{kg} \cdot \mathrm{m} \cdot \mathrm{s}^{-3} \cdot \mathrm{K}^{-1} \; &\mathrm{Pr} &= 3.148 \; \\[10pt] \end{aligned} \end{split}\]

Cálculo del número de Reynolds

%%render
S_T = 1.25 * 0.0254 * m # Paso del arreglo
D_e = (4*S_T**2- np.pi * d_o**2)/(np.pi * d_o) # Diámetro equivalente
# Shell diameter
D_c = 0.319 * m # Diámetro de la carcasa
a_c = D_c * B * (S_T-d_o)/S_T # Área libre de flujo
G = F_h/a_c
# Reynolds number calculation
Re = G * D_e / mu
\[\begin{split} \begin{aligned} S_{T} &= 1.25 \cdot 0.0254 \cdot m = 1.25 \cdot 0.0254 \cdot m &= 31.750\ \mathrm{mm} \; \;\textrm{(Paso del arreglo)} \\[10pt] D_{e} &= \frac{ 4 \cdot \left( S_{T} \right) ^{ 2 } - \mathrm{np.pi} \cdot \left( d_{o} \right) ^{ 2 } }{ \mathrm{np.pi} \cdot d_{o} } = \frac{ 4 \cdot \left( 31.750\ \mathrm{mm} \right) ^{ 2 } - np.pi \cdot \left( 25.400\ \mathrm{mm} \right) ^{ 2 } }{ np.pi \cdot 25.400\ \mathrm{mm} } &= 25.132\ \mathrm{mm} \; \;\textrm{(Diámetro equivalente)} \\[10pt] D_{c} &= 0.319 \cdot m = 0.319 \cdot m &= 319.000\ \mathrm{mm} \; \;\textrm{(Diámetro de la carcasa)} \\[10pt] a_{c} &= D_{c} \cdot B \cdot \frac{ S_{T} - d_{o} }{ S_{T} } = 319.000\ \mathrm{mm} \cdot 81.333\ \mathrm{mm} \cdot \frac{ 31.750\ \mathrm{mm} - 25.400\ \mathrm{mm} }{ 31.750\ \mathrm{mm} } &= 5189.067\ \mathrm{mm}^{2} \; \;\textrm{(Área libre de flujo)} \\[10pt] G &= \frac{ F_{h} }{ a_{c} } = \frac{ 5.556\ \mathrm{kg} \cdot \mathrm{s}^{-1} }{ 5189.067\ \mathrm{mm}^{2} } &= 1070.627\ \mathrm{kg} \cdot \mathrm{m}^{-2} \cdot \mathrm{s}^{-1} \\[10pt] \mathrm{Re} &= G \cdot \frac{ D_{e} }{ \mu } = 1070.627\ \mathrm{kg} \cdot \mathrm{m}^{-2} \cdot \mathrm{s}^{-1} \cdot \frac{ 25.132\ \mathrm{mm} }{ 0.000\ \mathrm{kg} \cdot \mathrm{m}^{-1} \cdot \mathrm{s}^{-1} } &= 55023.873 \end{aligned} \end{split}\]

Cálculos de transferencia de calor. Asumiremos que \(\mu_s/\mu \sim 1\)

%%render
j_h = 0.36 * Re**0.55 
Nusselt = j_h * Pr**(1/3)
h_c = Nusselt * k / D_e
\[\begin{split} \begin{aligned} j_{h} &= 0.36 \cdot \left( \mathrm{Re} \right) ^{ 0.55 } = 0.36 \cdot \left( 55023.873 \right) ^{ 0.55 } &= 145.749 \\[10pt] \mathrm{Nusselt} &= j_{h} \cdot \left( \mathrm{Pr} \right) ^{ \left( \frac{ 1 }{ 3 } \right) } = 145.749 \cdot \left( 3.148 \right) ^{ \left( \frac{ 1 }{ 3 } \right) } &= 213.608 \\[10pt] h_{c} &= \mathrm{Nusselt} \cdot \frac{ k }{ D_{e} } = 213.608 \cdot \frac{ 0.650\ \mathrm{kg} \cdot \mathrm{m} \cdot \mathrm{s}^{-3} \cdot \mathrm{K}^{-1} }{ 25.132\ \mathrm{mm} } &= 5524.701\ \mathrm{kg} \cdot \mathrm{s}^{-3} \cdot \mathrm{K}^{-1} \end{aligned} \end{split}\]

Pregunta 4#

Si el coeficiente de transferencia de calor por convección para el agua fría que circula por el lado de los tubos es \(h_t = 10000~\text{W/m}^2\cdot\text{K}\), la resistencia de ensuciamiento de diseño (\(R_d\)) es la siguiente:

a) \(R_d < 10^{−5}~\text{m}^2\cdot{K/W}\)
b) \(10^{−5} \leq R_d < 4\times10^{−5}~\text{m}^2\cdot{K/W}\)
c) \(4\times10^{−5} \leq R_d < 10^{−4}~\text{m}^2\cdot{K/W}\)
d) \(R_d \geq 10^{−4}~\text{m}^2\cdot{K/W}\)

Solución#

Desde la ecuación de diseño.

\[ q = UA F_t \Delta T_{ml}\]
%%render sci_not
h_t = 10000 * W / m**2 / K
q = F_h * c_p * (T_hi - T_ho)
U_T = q/(A*dT)
U = (d_o/(d_i*h_t) + 1/h_c)**(-1)
R_f = 1/U_T - (d_o/(d_i*h_t) + 1/h_c)
\[\begin{split} \begin{aligned} h_{t} &= 10000 \cdot \frac{ W }{ \left( m \right) ^{ 2 } } \cdot \frac{1} { K } = 10000 \cdot \frac{ W }{ \left( m \right) ^{ 2 } } \cdot \frac{1} { K } &= 1.000 \times 10^ {4}\ \mathrm{kg} \cdot \mathrm{s}^{-3} \cdot \mathrm{K}^{-1} \\[10pt] q &= F_{h} \cdot c_{p} \cdot \left( T_{hi} - T_{ho} \right) \\&= 5.556 \times 10^ {0}\ \mathrm{kg} \cdot \mathrm{s}^{-1} \cdot 4.184 \times 10^ {3}\ \mathrm{m}^{2} \cdot \mathrm{s}^{-2} \cdot \mathrm{K}^{-1} \cdot \left( 8.100 \times 10^ {1}\ \mathrm{°C} - 3.300 \times 10^ {1}\ \mathrm{°C} \right) \\&= 1.116 \times 10^ {0}\ \mathrm{MW} \\[10pt] \\[10pt] U_{T} &= \frac{ q }{ A \cdot \mathrm{dT} } = \frac{ 1.116 \times 10^ {0}\ \mathrm{MW} }{ 1.168 \times 10^ {1}\ \mathrm{m}^{2} \cdot 2.962 \times 10^ {1}\ \mathrm{°C} } &= 3.224 \times 10^ {3}\ \mathrm{kg} \cdot \mathrm{s}^{-3} \cdot \mathrm{K}^{-1} \\[10pt] U &= \left( \frac{ d_{o} }{ d_{i} \cdot h_{t} } + \frac{ 1 }{ h_{c} } \right) ^{ \left( - 1 \right) } \\&= \left( \frac{ 2.540 \times 10^ {1}\ \mathrm{mm} }{ 2.210 \times 10^ {1}\ \mathrm{mm} \cdot 1.000 \times 10^ {4}\ \mathrm{kg} \cdot \mathrm{s}^{-3} \cdot \mathrm{K}^{-1} } + \frac{ 1 }{ 5.525 \times 10^ {3}\ \mathrm{kg} \cdot \mathrm{s}^{-3} \cdot \mathrm{K}^{-1} } \right) ^{ \left( - 1 \right) } \\&= 3.379 \times 10^ {3}\ \mathrm{kg} \cdot \mathrm{s}^{-3} \cdot \mathrm{K}^{-1} \\[10pt] \\[10pt] R_{f} &= \frac{ 1 }{ U_{T} } - \left( \frac{ d_{o} }{ d_{i} \cdot h_{t} } + \frac{ 1 }{ h_{c} } \right) \\&= \frac{ 1 }{ 3.224 \times 10^ {3}\ \mathrm{kg} \cdot \mathrm{s}^{-3} \cdot \mathrm{K}^{-1} } - \left( \frac{ 2.540 \times 10^ {1}\ \mathrm{mm} }{ 2.210 \times 10^ {1}\ \mathrm{mm} \cdot 1.000 \times 10^ {4}\ \mathrm{kg} \cdot \mathrm{s}^{-3} \cdot \mathrm{K}^{-1} } + \frac{ 1 }{ 5.525 \times 10^ {3}\ \mathrm{kg} \cdot \mathrm{s}^{-3} \cdot \mathrm{K}^{-1} } \right) \\&= 1.419 \times 10^ {5}\ \mathrm{kg}^{-1} \cdot \mathrm{s}^{3} \cdot \mathrm{K} \\[10pt] \end{aligned} \end{split}\]

\(R_f = 1.0023 \times 10 ^{-5} m^2 K W^{-1}\)

Por lo tanto la alternativa correcta es \(b)\).