IIQ2013 - Clase 15#

Se utilizaron los siguientes paquetes.

import handcalcs.render
from numpy import log, sqrt

Pregunta 1#

Determine el factor de corrección \(F_T\) para el caso de un intercambiador de calor de tubos y carcasa (ICTC) tipo 1-2n en el que se enfrían \(1500~\text{kg/h}\) de agua a \(80~\text{°C}\) usando \(2200~\text{kg/h}\) de agua a \(18~\text{°C}\) como líquido refrigerante, el cual se puede calentar hasta \(42~\text{°C}\):

a) \(F_T \leq 0.80\)
b) \(0.80 < F_T \leq 0.82\)
c) \(0.82 < F_T \leq 0.85\)
d) \(FT > 0.85\)

Solución#

A partir de la razón de temperaturas, tenemos que en este caso en particular.

\[ Z = \frac{T_{h,e}-T_{h,s}}{T_{c,s}-T_{c,e}} = \frac{\dot{m}_c}{\dot{m}_h} \]

Luego la temperatura de salida será:

\[ T_{h,s} = T_{h,e} - Z(T_{c,s}-T_{c,e}) \]
%%render params
m_c = 2200 #kg/h
T_ce = 18+273.15 #K
T_cs = 42+273.15 #K
m_h = 1500 #kg/h
T_he = 80+273.15 #K
\[\begin{split} \begin{aligned} m_{c} &= 2200 \; \;\textrm{(kg/h)} &T_{ce} &= 291.150 \; \;\textrm{(K)} &T_{cs} &= 315.150 \; \;\textrm{(K)} \\[10pt] m_{h} &= 1500 \; \;\textrm{(kg/h)} &T_{he} &= 353.150 \; \;\textrm{(K)} \end{aligned} \end{split}\]
%%render long
Z = m_c/m_h
T_hs = T_he - Z*(T_cs-T_ce)
\[\begin{split} \begin{aligned} Z &= \frac{ m_{c} }{ m_{h} } \\&= \frac{ 2200 }{ 1500 } \\&= 1.467 \\[10pt] \\[10pt] T_{hs} &= T_{he} - Z \cdot \left( T_{cs} - T_{ce} \right) \\&= 353.150 - 1.467 \cdot \left( 315.150 - 291.150 \right) \\&= 317.950 \\[10pt] \end{aligned} \end{split}\]

Luego la eficiencia de temperatura.

\[ \eta_H = \frac{T_{c,s}-T_{c,e}}{T_{h,e}-T_{c,e}} \]

En donde el factor de corrección es:

\[ F_T = \frac{\sqrt{Z^2+1}\ln\left(\frac{1-\eta_H}{1-\eta_HZ}\right)}{(Z-1)\ln\left(\frac{2-\eta_H\left(Z+1-\sqrt{Z^2+1}\right)}{2-\eta_H\left(Z+1+\sqrt{Z^2+1}\right)}\right)} \]
%%render long
eta_H = (T_cs-T_ce)/(T_he-T_ce)
F_T = (sqrt(Z**2+1)*log((1-eta_H)/(1-eta_H*Z)))/((Z-1)*log((2-eta_H*(Z+1-sqrt(Z**2+1)))/(2-eta_H*(Z+1+sqrt(Z**2+1)))))
\[\begin{split} \begin{aligned} \eta_{H} &= \frac{ T_{cs} - T_{ce} }{ T_{he} - T_{ce} } \\&= \frac{ 315.150 - 291.150 }{ 353.150 - 291.150 } \\&= 0.387 \\[10pt] \\[10pt] F_{T} &= \frac{ \sqrt { \left( Z \right) ^{ 2 } + 1 } \cdot \ln \left( \frac{ 1 - \eta_{H} }{ 1 - \eta_{H} \cdot Z } \right) }{ \left( Z - 1 \right) \cdot \ln \left( \frac{ 2 - \eta_{H} \cdot \left( Z + 1 - \sqrt { \left( Z \right) ^{ 2 } + 1 } \right) }{ 2 - \eta_{H} \cdot \left( Z + 1 + \sqrt { \left( Z \right) ^{ 2 } + 1 } \right) } \right) } \\&= \frac{ \sqrt { \left( 1.467 \right) ^{ 2 } + 1 } \cdot \ln \left( \frac{ 1 - 0.387 }{ 1 - 0.387 \cdot 1.467 } \right) }{ \left( 1.467 - 1 \right) \cdot \ln \left( \frac{ 2 - 0.387 \cdot \left( 1.467 + 1 - \sqrt { \left( 1.467 \right) ^{ 2 } + 1 } \right) }{ 2 - 0.387 \cdot \left( 1.467 + 1 + \sqrt { \left( 1.467 \right) ^{ 2 } + 1 } \right) } \right) } \\&= 0.842 \\[10pt] \end{aligned} \end{split}\]

Por lo tanto, la alternativa correcta es la c.

Pregunta 2#

Se pretende enfriar \(1500~\text{kg/h}\) de agua a \(80~\text{°C}\) usando \(2200~\text{kg/h}\) de agua a \(18~\text{°C}\) como líquido refrigerante. Discuta con su compañero por qué no es posible hacer esto en un ICTC tipo 1-2n cuando el agua de enfriamiento se calienta a \(50~\text{°C}\).









Solución#

Los flujos se mantienen constantes, por lo tanto, nuestra razón de temperaturas es constante también. Podemos entonces calcular el nuevo \(\eta_H\) y buscar el factor de corrección.

%%render long
T_cs = 50+273.15 #K
T_hs = T_he - Z*(T_cs-T_ce)
eta_H = (T_cs-T_ce)/(T_he-T_ce)
\[\begin{split} \begin{aligned} T_{cs} &= 50 + 273.15 &= 323.150 \; \;\textrm{(K)} \\[10pt] T_{hs} &= T_{he} - Z \cdot \left( T_{cs} - T_{ce} \right) \\&= 353.150 - 1.467 \cdot \left( 323.150 - 291.150 \right) \\&= 306.217 \\[10pt] \\[10pt] \eta_{H} &= \frac{ T_{cs} - T_{ce} }{ T_{he} - T_{ce} } \\&= \frac{ 323.150 - 291.150 }{ 353.150 - 291.150 } \\&= 0.516 \\[10pt] \end{aligned} \end{split}\]

Notamos que en la gráfica, el \(0.5\) se encuentra después de la curva donde \(Z\approx1.4\) por lo tanto, el valor del factor de corrección no existe y el diseño de este intercambiador es imposible.

Pregunta 3#

Determine la máxima temperatura a la cual se puede calentar el agua de enfriamiento, y para la cual dicho intercambiador de calor opera marginalmente. ¿Qué valor de \(F_T\) se debe asumir en estos casos? Utilice las curvas para el factor de corrección, \(F_T\) de la temperatura media logarítmica para contacto a contracorrientes, \((\Delta T_{ml})_{CC}\) , para un ICTC tipo 1-2n.

a) \(T_{cs} \approx 36~\text{°C}\)
b) \(T_{cs} \approx 40~\text{°C}\)
c) \(T_{cs} \approx 44~\text{°C}\)
d) \(T_{cs} \approx 48~\text{°C}\)

Solución#

Aproximando \(Z\approx 1.4\) utilizamos el gráfico, notamos que el valor máximo que puede tomar la eficiencia de temperaturas es de \(\eta_H\approx0.425\) Cuando \(F_T\) toma su mínimo valor de 0.75. Bajo estos supuestos podemos obtener \(T_{c,s}\)

%%render long
eta_H = 0.425
T_cs = T_ce + eta_H*(T_he-T_ce) - 273.15 #$^\circ$C
\[\begin{split} \begin{aligned} \eta_{H} &= 0.425 \; \\[10pt] T_{cs} &= T_{ce} + \eta_{H} \cdot \left( T_{he} - T_{ce} \right) - 273.15 \\&= 291.150 + 0.425 \cdot \left( 353.150 - 291.150 \right) - 273.15 \\&= 44.350 \; \;\textrm{($^\circ$C)}\\[10pt] \end{aligned} \end{split}\]

Por lo tanto, la alternativa correcta es la c.