IIQ2013 - Clase 18

Se usa un intercambiador de calor de tubos y carcasa (ICTC) tipo 1-2n para enfriar \(F_h = 20~\text{ton/h}\) de agua (flujo por lado de carcasa) a \(T_{h,i} = 81~\text{°C}\) con \(F_c = 120~\text{ton/h}\) de agua de enfriamiento a \(T_{c,i} = 17~\text{°C}\) (flujo por el lado de los tubos). El ICTC dispone de \(N_t = 60\) tubos de \(1~\text{in}\) de diámetro nominal (\(D_o = 2.54~\text{cm}\); \(D_i = 2.21 ~\text{cm}\)) y \(L = 2.44~\text{m}\) de largo (\(A = 11.7~\text{m}^2\)) ordenados según un arreglo cuadrado de \(P_T = 1.25~\text{in}\) de paso. La carcasa tiene \(D_c =31.9~\text{cm}\) de diámetro, y está equipada con \(N_B = 30\) deflectores segmentales igualmente espaciados.

import handcalcs.render
import forallpeople
import numpy as np
import forallpeople as si

si.environment('default', top_level=True)

Pregunta 1

El coeficiente de transferencia de calor por convección para el agua caliente que circula por el lado de la carcasa (\(h_c\)) es aproximadamente el siguiente:

(a) \(h_c\) \(<\) 3750 \(\text{W/m}^2\cdot\text{K}\)
(b) 3750 \(\leq\) \(h_c\) \(<\) 5000 \(\text{W/m}^2\cdot\text{K}\)
(c) 5000 \(\leq\) \(h_c\) \(<\) 7500 \(\text{W/m}^2\cdot\text{K}\)
(d) \(h_c\) \(\geq\) 7500 \(\text{W/m}^2\cdot\text{K}\)

Las propiedades termofísicas para el agua por el lado de la carcasa evaluado a la temperatura promedio son: \(\mu_c = 0.489~\text{cP}\), \(Pr_c = 3.15\), \(k_c = 0.65~\text{W/m}\cdot\text{K}\).

Solución

%%render
L = 2.44 * m
D_o = 0.0254 * m
N_b = 30 # Número de deflectores
D_c = 0.319*  m # Diámetro de la carcasa
P_t = 1.25 * 0.0254* m
B = L/(N_b+1) # espaciamiento entre deflectores
a_c = D_c * B *(P_t-D_o)/P_t

\[\begin{split} \begin{aligned} L &= 2.44 \cdot m = 2.44 \cdot m &= 2.440\ \mathrm{m} \\[10pt] D_{o} &= 0.0254 \cdot m = 0.0254 \cdot m &= 25.400\ \mathrm{mm} \\[10pt] N_{b} &= 30 \; \;\textrm{(Número de deflectores)} \\[10pt] D_{c} &= 0.319 \cdot m = 0.319 \cdot m &= 319.000\ \mathrm{mm} \; \;\textrm{(Diámetro de la carcasa)} \\[10pt] P_{t} &= 1.25 \cdot 0.0254 \cdot m = 1.25 \cdot 0.0254 \cdot m &= 31.750\ \mathrm{mm} \\[10pt] B &= \frac{ L }{ N_{b} + 1 } = \frac{ 2.440\ \mathrm{m} }{ 30 + 1 } &= 78.710\ \mathrm{mm} \; \;\textrm{(espaciamiento entre deflectores)} \\[10pt] a_{c} &= D_{c} \cdot B \cdot \frac{ P_{t} - D_{o} }{ P_{t} } = 319.000\ \mathrm{mm} \cdot 78.710\ \mathrm{mm} \cdot \frac{ 31.750\ \mathrm{mm} - 25.400\ \mathrm{mm} }{ 31.750\ \mathrm{mm} } &= 5021.677\ \mathrm{mm}^{2} \end{aligned} \end{split}\]

%%render
F_h = 20*1e3/3600 * kg / s
mu = 4.89e-4 * Pa *s
G_c = F_h/a_c
pi = np.pi
D_e = (4*P_t**2 - pi*D_o**2)/(pi*D_o)
Re_c = G_c * D_e / mu

\[\begin{split} \begin{aligned} F_{h} &= 20 \cdot \frac{ 1 \times 10 ^ {3} }{ 3600 } \cdot \frac{ \mathrm{kg} }{ s } = 20 \cdot \frac{ 1 \times 10 ^ {3} }{ 3600 } \cdot \frac{ kg }{ s } &= 5.556\ \mathrm{kg} \cdot \mathrm{s}^{-1} \\[10pt] \mu &= 4.89 \times 10 ^ {-4} \cdot \mathrm{Pa} \cdot s = 4.89 \times 10 ^ {-4} \cdot Pa \cdot s &= 0.000\ \mathrm{kg} \cdot \mathrm{m}^{-1} \cdot \mathrm{s}^{-1} \\[10pt] G_{c} &= \frac{ F_{h} }{ a_{c} } = \frac{ 5.556\ \mathrm{kg} \cdot \mathrm{s}^{-1} }{ 5021.677\ \mathrm{mm}^{2} } &= 1106.315\ \mathrm{kg} \cdot \mathrm{m}^{-2} \cdot \mathrm{s}^{-1} \\[10pt] \pi &= 3.142 \; \\[10pt] D_{e} &= \frac{ 4 \cdot \left( P_{t} \right) ^{ 2 } - \pi \cdot \left( D_{o} \right) ^{ 2 } }{ \pi \cdot D_{o} } = \frac{ 4 \cdot \left( 31.750\ \mathrm{mm} \right) ^{ 2 } - 3.142 \cdot \left( 25.400\ \mathrm{mm} \right) ^{ 2 } }{ 3.142 \cdot 25.400\ \mathrm{mm} } &= 25.132\ \mathrm{mm} \\[10pt] \mathrm{Re}_{c} &= G_{c} \cdot \frac{ D_{e} }{ \mu } = 1106.315\ \mathrm{kg} \cdot \mathrm{m}^{-2} \cdot \mathrm{s}^{-1} \cdot \frac{ 25.132\ \mathrm{mm} }{ 0.000\ \mathrm{kg} \cdot \mathrm{m}^{-1} \cdot \mathrm{s}^{-1} } &= 56858.002 \end{aligned} \end{split}\]

Por lo tanto el flujo por el lado de la carcasa es turbulento.

%%render
j_h = 0.36 * Re_c**0.55
Pr = 3.15
Nusselt_c = Pr**(1/3) * j_h
k = 0.650 * W / m / K
h_c = Nusselt_c*k/D_e

\[\begin{split} \begin{aligned} j_{h} &= 0.36 \cdot \left( \mathrm{Re}_{c} \right) ^{ 0.55 } = 0.36 \cdot \left( 56858.002 \right) ^{ 0.55 } &= 148.401 \\[10pt] \mathrm{Pr} &= 3.150 \; \\[10pt] \mathrm{Nusselt}_{c} &= \left( \mathrm{Pr} \right) ^{ \left( \frac{ 1 }{ 3 } \right) } \cdot j_{h} = \left( 3.150 \right) ^{ \left( \frac{ 1 }{ 3 } \right) } \cdot 148.401 &= 217.541 \\[10pt] k &= 0.650 \cdot \frac{ W }{ m } \cdot \frac{1} { K } = 0.650 \cdot \frac{ W }{ m } \cdot \frac{1} { K } &= 0.650\ \mathrm{kg} \cdot \mathrm{m} \cdot \mathrm{s}^{-3} \cdot \mathrm{K}^{-1} \\[10pt] h_{c} &= \mathrm{Nusselt}_{c} \cdot \frac{ k }{ D_{e} } = 217.541 \cdot \frac{ 0.650\ \mathrm{kg} \cdot \mathrm{m} \cdot \mathrm{s}^{-3} \cdot \mathrm{K}^{-1} }{ 25.132\ \mathrm{mm} } &= 5626.431\ \mathrm{kg} \cdot \mathrm{s}^{-3} \cdot \mathrm{K}^{-1} \end{aligned} \end{split}\]

Por lo tanto la alternativa correcta es \(c)\)

Pregunta 2:

El coeficiente de transferencia de calor por convección para el agua de enfriamiento que circula por el lado de los tubos (\(h_t\)) es aproximadamente el siguiente:

(a) \(h_t\) \(<\) 7500 \(\text{W/m}^2\cdot\text{K}\)
(b) 7500 \(\leq\) \(h_t\) \(<\) 9000 \(\text{W/m}^2\cdot\text{K}\)
(c) 9000 \(\leq\) \(h_t\) \(<\) 12000 \(\text{W/m}^2\cdot\text{K}\)
(d) \(h_t\) \(\geq\) 12000 \(\text{W/m}^2\cdot\text{K}\)

Las propiedades termofísicas para el agua por el lado del tubo evaluado a la temperatura promedio son: \(\mu_t = 0.959~\text{cP}\), \(Pr_t = 6.62\), \(k_t = 0.0.606~\text{W/m}\cdot\text{K}\).

Solución

%%render
N = 60 # Número de tubos
n = 2 # Número de pasadas
D_i = 0.0221 * m
a_t = pi * D_i**2 / 4 * (N/n)
F_c = 120*1e3/3600 * kg / s
G_t = F_c/a_t

\[\begin{split} \begin{aligned} N &= 60 \; \;\textrm{(Número de tubos)} \\[10pt] n &= 2 \; \;\textrm{(Número de pasadas)} \\[10pt] D_{i} &= 0.0221 \cdot m = 0.0221 \cdot m &= 22.100\ \mathrm{mm} \\[10pt] a_{t} &= \pi \cdot \frac{ \left( D_{i} \right) ^{ 2 } }{ 4 } \cdot \left( \frac{ N }{ n } \right) \\&= 3.142 \cdot \frac{ \left( 22.100\ \mathrm{mm} \right) ^{ 2 } }{ 4 } \cdot \left( \frac{ 60 }{ 2 } \right) \\&= 11507.890\ \mathrm{mm}^{2} \\[10pt] \\[10pt] F_{c} &= 120 \cdot \frac{ 1 \times 10 ^ {3} }{ 3600 } \cdot \frac{ \mathrm{kg} }{ s } = 120 \cdot \frac{ 1 \times 10 ^ {3} }{ 3600 } \cdot \frac{ kg }{ s } &= 33.333\ \mathrm{kg} \cdot \mathrm{s}^{-1} \\[10pt] G_{t} &= \frac{ F_{c} }{ a_{t} } = \frac{ 33.333\ \mathrm{kg} \cdot \mathrm{s}^{-1} }{ 11507.890\ \mathrm{mm}^{2} } &= 2896.564\ \mathrm{kg} \cdot \mathrm{m}^{-2} \cdot \mathrm{s}^{-1} \end{aligned} \end{split}\]

Con el flux másico por el lado de los tubos, podemos calcular el número de Reynolds en el lado de los tubos.

%%render
mu_t = 9.59e-4 * Pa * s
Re_t = (G_t * D_i) / mu_t

\[\begin{split} \begin{aligned} \mu_{t} &= 9.59 \times 10 ^ {-4} \cdot \mathrm{Pa} \cdot s = 9.59 \times 10 ^ {-4} \cdot Pa \cdot s &= 0.001\ \mathrm{kg} \cdot \mathrm{m}^{-1} \cdot \mathrm{s}^{-1} \\[10pt] \mathrm{Re}_{t} &= \frac{ G_{t} \cdot D_{i} }{ \mu_{t} } = \frac{ 2896.564\ \mathrm{kg} \cdot \mathrm{m}^{-2} \cdot \mathrm{s}^{-1} \cdot 22.100\ \mathrm{mm} }{ 0.001\ \mathrm{kg} \cdot \mathrm{m}^{-1} \cdot \mathrm{s}^{-1} } &= 66750.839 \end{aligned} \end{split}\]

Por lo tanto el flujo es turbulento. Asumiendo paredes lisas, podemos utilizar la ecuación de Dittus Boelman.

%%render 
n = 0.4 #(Para calentamiento)
Pr_t = 6.62
Nusselt_t = 0.023 * Re_t ** 0.8 * Pr_t ** 0.4
k_t = 0.606 * W / m / K # (Conductividad térmica por el lado de los tubos)
h_t = Nusselt_t * k_t / D_i

\[\begin{split} \begin{aligned} n &= 0.400 \; \;\textrm{((Para calentamiento))} \\[10pt] \mathrm{Pr}_{t} &= 6.620 \; \\[10pt] \mathrm{Nusselt}_{t} &= 0.023 \cdot \left( \mathrm{Re}_{t} \right) ^{ 0.8 } \cdot \left( \mathrm{Pr}_{t} \right) ^{ 0.4 } \\&= 0.023 \cdot \left( 66750.839 \right) ^{ 0.8 } \cdot \left( 6.620 \right) ^{ 0.4 } \\&= 354.516 \\[10pt] \\[10pt] k_{t} &= 0.606 \cdot \frac{ W }{ m } \cdot \frac{1} { K } = 0.606 \cdot \frac{ W }{ m } \cdot \frac{1} { K } &= 0.606\ \mathrm{kg} \cdot \mathrm{m} \cdot \mathrm{s}^{-3} \cdot \mathrm{K}^{-1} \; \;\textrm{((Conductividad térmica por el lado de los tubos))} \\[10pt] h_{t} &= \mathrm{Nusselt}_{t} \cdot \frac{ k_{t} }{ D_{i} } = 354.516 \cdot \frac{ 0.606\ \mathrm{kg} \cdot \mathrm{m} \cdot \mathrm{s}^{-3} \cdot \mathrm{K}^{-1} }{ 22.100\ \mathrm{mm} } &= 9721.130\ \mathrm{kg} \cdot \mathrm{s}^{-3} \cdot \mathrm{K}^{-1} \end{aligned} \end{split}\]

Por lo tanto la alternativa correcta es c)

Pregunta 3

Usando el método \(\epsilon-\text{NTU}\), se puede estimar que, en este ICTC, el agua caliente se enfría hasta aproximadamente la siguiente temperatura:

(a) \(T_{h,o}\) \(<\) 30 °C
(b) 30 \(\leq\) \(T_{h,o}\) \(<\) 40 °C
(c) 40 \(\leq\) \(T_{h,o}\) \(<\) 50 °C
(d) \(T_{h,o}\) \(\geq\) 50 °C

Solución

Primero, calculamos las NTU basadas en el fluido con menor capacidad calórica. En este caso, es el fluido por la carcasa.

%%render
c_pc = 4184 * J / kg / K
c_ph = 4181 * J / kg / K
C_c = F_c*c_pc
C_h = F_h*c_ph

U =  (1/h_c + 1/h_t * D_o/D_i)**-1
A = 11.7 * m**2
NTU = (U*A)/(C_h)

\[\begin{split} \begin{aligned} c_{pc} &= 4184 \cdot \frac{ J }{ \mathrm{kg} } \cdot \frac{1} { K } = 4184 \cdot \frac{ J }{ kg } \cdot \frac{1} { K } &= 4184.000\ \mathrm{m}^{2} \cdot \mathrm{s}^{-2} \cdot \mathrm{K}^{-1} \\[10pt] c_{ph} &= 4181 \cdot \frac{ J }{ \mathrm{kg} } \cdot \frac{1} { K } = 4181 \cdot \frac{ J }{ kg } \cdot \frac{1} { K } &= 4181.000\ \mathrm{m}^{2} \cdot \mathrm{s}^{-2} \cdot \mathrm{K}^{-1} \\[10pt] C_{c} &= F_{c} \cdot c_{pc} \\&= 33.333\ \mathrm{kg} \cdot \mathrm{s}^{-1} \cdot 4184.000\ \mathrm{m}^{2} \cdot \mathrm{s}^{-2} \cdot \mathrm{K}^{-1} \\&= 139466.667\ \mathrm{kg} \cdot \mathrm{m}^{2} \cdot \mathrm{s}^{-3} \cdot \mathrm{K}^{-1} \\[10pt] \\[10pt] C_{h} &= F_{h} \cdot c_{ph} \\&= 5.556\ \mathrm{kg} \cdot \mathrm{s}^{-1} \cdot 4181.000\ \mathrm{m}^{2} \cdot \mathrm{s}^{-2} \cdot \mathrm{K}^{-1} \\&= 23227.778\ \mathrm{kg} \cdot \mathrm{m}^{2} \cdot \mathrm{s}^{-3} \cdot \mathrm{K}^{-1} \\[10pt] \\[10pt] U &= \left( \frac{ 1 }{ h_{c} } + \frac{ 1 }{ h_{t} } \cdot \frac{ D_{o} }{ D_{i} } \right) ^{ -1 } \\&= \left( \frac{ 1 }{ 5626.431\ \mathrm{kg} \cdot \mathrm{s}^{-3} \cdot \mathrm{K}^{-1} } + \frac{ 1 }{ 9721.130\ \mathrm{kg} \cdot \mathrm{s}^{-3} \cdot \mathrm{K}^{-1} } \cdot \frac{ 25.400\ \mathrm{mm} }{ 22.100\ \mathrm{mm} } \right) ^{ -1 } \\&= 3378.815\ \mathrm{kg} \cdot \mathrm{s}^{-3} \cdot \mathrm{K}^{-1} \\[10pt] \\[10pt] A &= 11.7 \cdot \left( m \right) ^{ 2 } = 11.7 \cdot \left( m \right) ^{ 2 } &= 11.700\ \mathrm{m}^{2} \\[10pt] \mathrm{NTU} &= \frac{ U \cdot A }{ C_{h} } = \frac{ 3378.815\ \mathrm{kg} \cdot \mathrm{s}^{-3} \cdot \mathrm{K}^{-1} \cdot 11.700\ \mathrm{m}^{2} }{ 23227.778\ \mathrm{kg} \cdot \mathrm{m}^{2} \cdot \mathrm{s}^{-3} \cdot \mathrm{K}^{-1} } &= 1.702 \end{aligned} \end{split}\]

Calcularemos la efectividad del ICTC de manera analítica

from math import sqrt, exp

%%render
C_r = C_h/C_c
epsilon = 2 / (1 + C_r + sqrt(1+C_r**2) * (1+exp(-NTU*sqrt(1+C_r**2)))/(1-exp(-NTU*sqrt(1+C_r**2))))

\[\begin{split} \begin{aligned} C_{r} &= \frac{ C_{h} }{ C_{c} } = \frac{ 23227.778\ \mathrm{kg} \cdot \mathrm{m}^{2} \cdot \mathrm{s}^{-3} \cdot \mathrm{K}^{-1} }{ 139466.667\ \mathrm{kg} \cdot \mathrm{m}^{2} \cdot \mathrm{s}^{-3} \cdot \mathrm{K}^{-1} } &= 0.167 \\[10pt] \epsilon &= \frac{ 2 }{ 1 + C_{r} + \sqrt { 1 + \left( C_{r} \right) ^{ 2 } } \cdot \frac{ 1 + \exp \left( \left( - \mathrm{NTU} \right) \cdot \sqrt { 1 + \left( C_{r} \right) ^{ 2 } } \right) }{ 1 - \exp \left( \left( - \mathrm{NTU} \right) \cdot \sqrt { 1 + \left( C_{r} \right) ^{ 2 } } \right) } } \\&= \frac{ 2 }{ 1 + 0.167 + \sqrt { 1 + \left( 0.167 \right) ^{ 2 } } \cdot \frac{ 1 + \exp \left( \left( - 1.702 \right) \cdot \sqrt { 1 + \left( 0.167 \right) ^{ 2 } } \right) }{ 1 - \exp \left( \left( - 1.702 \right) \cdot \sqrt { 1 + \left( 0.167 \right) ^{ 2 } } \right) } } \\&= 0.763 \\[10pt] \end{aligned} \end{split}\]

Con la eficiencia, podemos calcular la temperatura de salida del fluido por la carcasa

%%render
T_hi = 81 * C
T_ci = 17 * C
T_ho = T_hi - (T_hi - T_ci)*epsilon

\[\begin{split} \begin{aligned} T_{hi} &= 81 \cdot C = 81 \cdot C &= 81.000\ \mathrm{C} \\[10pt] T_{ci} &= 17 \cdot C = 17 \cdot C &= 17.000\ \mathrm{C} \\[10pt] T_{ho} &= T_{hi} - \left( T_{hi} - T_{ci} \right) \cdot \epsilon = 81.000\ \mathrm{C} - \left( 81.000\ \mathrm{C} - 17.000\ \mathrm{C} \right) \cdot 0.763 &= 32.139\ \mathrm{C} \end{aligned} \end{split}\]