IIQ2013 - Clase 8

Interesa dimensionar el motor del agitador (una turbina) y estimar el tiempo de mezclado de un líquido [\(\rho = 1000\hspace{1mm}kg/m^3\), \(\mu = 20\hspace{1mm}cP\)] para un estanque agitado de \(100\hspace{1mm}m^3\) de capacidad y configuración estándar (\(S_6 = H/D_t = 1\)).

En primer lugar se deben cargar las librerias que vamos a utilizar

import numpy as np
from numpy import sqrt, pi
import handcalcs.render
from handcalcs import handcalc

Problema 1

Si para una configuración estándar de estanque agitado con turbina \(1/S_1 = D_t/D_a = 4\), entonces el diámetro de agitador industrial \((D_a)\) es aproximadamente el siguiente:

(a) D\(_a\) \(<\) 50 cm

(b) 50 \(\leq\) D\(_a\) \(<\) 100 cm

(c) 100 \(\leq\) D\(_a\) \(<\) 150 cm

(d) D\(_a\) \(\geq\) 150 cm

Solución

Sabemos el volumen, luego despejamos para \(D_t\).

\[ D_t = \sqrt[3]{\frac{4V}{\pi}} \]

%%render long
V = 100 #m$^3$
S_1 = 1/4
D_t = ((4*100)/pi)**(1/3) #m
D_a = D_t*S_1 #m

\[\begin{split} \begin{aligned} V &= 100 \; \;\textrm{(m$^3$)} \\[10pt] S_{1} &= \frac{ 1 }{ 4 } &= 0.250 \\[10pt] D_{t} &= \left( \frac{ 4 \cdot 100 }{ \pi } \right) ^{ \left( \frac{ 1 }{ 3 } \right) } \\&= \left( \frac{ 4 \cdot 100 }{ 3.142 } \right) ^{ \left( \frac{ 1 }{ 3 } \right) } \\&= 5.031 \; \;\textrm{(m)}\\[10pt] \\[10pt] D_{a} &= D_{t} \cdot S_{1} \\&= 5.031 \cdot 0.250 \\&= 1.258 \; \;\textrm{(m)}\\[10pt] \end{aligned} \end{split}\]

La alternativa correcta es la c.

Problema 2

El régimen de flujo en el estanque si la turbina opera a N = 25 rpm es el siguiente:

(a) Laminar

(b) De transición de laminar a turbulento

(c) Turbulento

(d) No existe suficiente información para determinar el régimen de flujo

Solución

%%render long
rho = 1000 #kg/m$^3$
mu = 0.02 #Pa$\cdot$s
N = 25 #RPM
Re = (rho*(N/60)*D_a**2)/mu

\[\begin{split} \begin{aligned} \rho &= 1000 \; \;\textrm{(kg/m$^3$)} \\[10pt] \mu &= 0.020 \; \;\textrm{(Pa$\cdot$s)} \\[10pt] N &= 25 \; \;\textrm{(RPM)} \\[10pt] \mathrm{Re} &= \frac{ \rho \cdot \left( \frac{ N }{ 60 } \right) \cdot \left( D_{a} \right) ^{ 2 } }{ \mu } \\&= \frac{ 1000 \cdot \left( \frac{ 25 }{ 60 } \right) \cdot \left( 1.258 \right) ^{ 2 } }{ 0.020 } \\&= 32954.308 \\[10pt] \end{aligned} \end{split}\]

Ya que \(Re > 10^4\), el régimen es turbulento.

Problema 3

Si para la configuración estándar del estanque agitado equipado con un agitador de turbina \(K_L = 65\) y \(K_T = 5.75\), entonces el consumo de potencia del estanque \((P)\) es aproximadamente el siguiente:

(a) P \(<\) 1 kW

(b) 1 kW \(\leq\) P \(<\) 5 kW

(c) 5 kW \(\leq\) P \(<\) 25 kW

(d) P \(\geq\) 25 kW

Solución

%%render long
K_T = 5.75
P = K_T*rho*(N/60)**3*D_a**5 #W

\[\begin{split} \begin{aligned} K_{T} &= 5.750 \; \\[10pt] P &= K_{T} \cdot \rho \cdot \left( \frac{ N }{ 60 } \right) ^{ 3 } \cdot \left( D_{a} \right) ^{ 5 } \\&= 5.750 \cdot 1000 \cdot \left( \frac{ 25 }{ 60 } \right) ^{ 3 } \cdot \left( 1.258 \right) ^{ 5 } \\&= 1308.934 \; \;\textrm{(W)}\\[10pt] \end{aligned} \end{split}\]

La alternativa correcta es la b.

Problema 4

El tiempo promedio que toma el fluido que descarga la turbina en circular por el estanque y retornar a la turbina \((t_c)\) es aproximadamente el siguiente:

(a) \(t_c\) \(<\) 20 s

(b) 20 \(\leq\) \(t_c\) \(<\) 40 s

(c) 40 \(\leq\) \(t_c\) \(<\) 80 s

(d) \(t_c\) \(\geq\) 80 s

Solución

Del gráfico:

Fig. 18 Gráfico para tiempo adimensional de mezclado.

Asumiendo que para \(D_a/D_t=1/4\) es válida la línea de turbina \(D_a/D_t=1/3\). Entonces \(N\times t_M \approx 60\).

%%render long
Nxt_M = 60
t_m = Nxt_M/(N/60) #s

\[\begin{split} \begin{aligned} \mathrm{Nxt}_{M} &= 60 \; \\[10pt] t_{m} &= \frac{ \mathrm{Nxt}_{M} }{ \frac{ N }{ 60 } } \\&= \frac{ 60 }{ \frac{ 25 }{ 60 } } \\&= 144.000 \; \;\textrm{(s)}\\[10pt] \end{aligned} \end{split}\]

Ya que \(t_m\approx 5t_c\).

%%render long
t_c = t_m/5 #s

\[\begin{split} \begin{aligned} t_{c} &= \frac{ t_{m} }{ 5 } \\&= \frac{ 144.000 }{ 5 } \\&= 28.800 \; \;\textrm{(s)}\\[10pt] \end{aligned} \end{split}\]

La alternativa correcta es b.