IIQ2013 - Clase 9#

Se efectúa un experimento en un estanque de laboratorio con configuración estándar de \(10 \mathrm{~L}\) de capacidad \((H / D_T=1)\) y equipado con una turbina de seis palas. Experimentalmente se determina que el tiempo de mezclado para alcanzar una uniformidad superior a \(99.99 \%\) en una solución \(\left[\rho=1000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^3, \mu=60 \mathrm{~cp}\right]\) es aproximadamente \(t_{\mathrm{m}}=1 \mathrm{~min}\) al operar a \(500 \mathrm{~rpm}\). Interesa usar dichos datos para dimensionar un estanque industrial para mezclar \(100 \mathrm{~m}^3\) de solución.

En primer lugar se deben cargar las librerias que vamos a utilizar

import numpy as np
from numpy import sqrt, pi
import handcalcs.render
from handcalcs import handcalc

Problema 1#

Si para una configuración estándar de estanque agitado con turbina \(D_T / D_a=4\), entonces el diámetro de agitador industrial \((D_a)\) es el siguiente:

(a) \(D>120 \mathrm{~cm}\)

(b) \(80<D \leq 120 \mathrm{~cm}\)

(c) \(40<D \leq 80 \mathrm{~cm}\)

(d) \(D \leq 40 \mathrm{~cm}\)

Solución#

Sabemos el volumen, luego despejamos para \(D_t\) del agitador de laboratorio.

\[ D_t = \sqrt[3]{\frac{4V}{\pi}} \]
%%render long
#Para volumen laboratorio
V = 0.01 #m$^3$
S_1 = 1/4
D_Tm = ((4*V)/pi)**(1/3) #m
D_am = D_Tm*S_1 #m
\[\begin{split} \begin{aligned} V &= 0.010 \; \;\textrm{(m$^3$)} \\[10pt] S_{1} &= \frac{ 1 }{ 4 } &= 0.250 \\[10pt] D_{Tm} &= \left( \frac{ 4 \cdot V }{ \pi } \right) ^{ \left( \frac{ 1 }{ 3 } \right) } \\&= \left( \frac{ 4 \cdot 0.010 }{ 3.142 } \right) ^{ \left( \frac{ 1 }{ 3 } \right) } \\&= 0.234 \; \;\textrm{(m)}\\[10pt] \\[10pt] D_{am} &= D_{Tm} \cdot S_{1} \\&= 0.234 \cdot 0.250 \\&= 0.058 \; \;\textrm{(m)}\\[10pt] \end{aligned} \end{split}\]

luego para el agitador de industrial.

%%render long
#Para volumen laboratorio
V = 100 #m$^3$
S_1 = 1/4
D_Tp = ((4*V)/pi)**(1/3) #m
D_ap = D_Tp*S_1 #m
\[\begin{split} \begin{aligned} V &= 100 \; \;\textrm{(m$^3$)} \\[10pt] S_{1} &= \frac{ 1 }{ 4 } &= 0.250 \\[10pt] D_{Tp} &= \left( \frac{ 4 \cdot V }{ \pi } \right) ^{ \left( \frac{ 1 }{ 3 } \right) } \\&= \left( \frac{ 4 \cdot 100 }{ 3.142 } \right) ^{ \left( \frac{ 1 }{ 3 } \right) } \\&= 5.031 \; \;\textrm{(m)}\\[10pt] \\[10pt] D_{ap} &= D_{Tp} \cdot S_{1} \\&= 5.031 \cdot 0.250 \\&= 1.258 \; \;\textrm{(m)}\\[10pt] \end{aligned} \end{split}\]

La alternativa correcta es la a.

Problema 2#

Si la calidad del mezclado depende principalmente de la velocidad de punta del agitador, la velocidad a la que debe operar el agitador industrial \((N)\) es la siguiente:

(a) \(N>270 \mathrm{rpm}\)

(b) \(90<N \leq 270 \mathrm{rpm}\)

(c) \(30<N \leq 90 \mathrm{rpm}\)

(d) \(N \leq 30 \mathrm{rpm}\)

Solución#

Utilizando el criterio de ND constante,

\[ N_m D_{d, m}=N_p D_{a, p} \Rightarrow N_p=N_m \frac{D_{T, m}}{D_{T, p}} \]
%%render long
Nm = 500 #RPM
Np = Nm*D_Tm/D_Tp #RPM
\[\begin{split} \begin{aligned} \mathrm{Nm} &= 500 \; \;\textrm{(RPM)} \\[10pt] \mathrm{Np} &= \mathrm{Nm} \cdot \frac{ D_{Tm} }{ D_{Tp} } \\&= 500 \cdot \frac{ 0.234 }{ 5.031 } \\&= 23.208 \; \;\textrm{(RPM)}\\[10pt] \end{aligned} \end{split}\]

La alternativa correcta es la d.

Problema 3#

El régimen de flujo en el estanque industrial es el siguiente:

(a) Laminar

(b) De transición de laminar a turbulento

(c) Turbulento

(d) No existe suficiente información para determinar el régimen de flujo

Solución#

Para esto calculamos el número de Reynolds

\[ Re=\frac{\rho_p N_p D_{a, p}^2}{\mu_p} \]
%%render long
rho = 1000 #kg/m$^3$
mu = 0.06 #Pa$\cdot$s
Re = (rho*(Np/60)*D_ap**2)/mu
\[\begin{split} \begin{aligned} \rho &= 1000 \; \;\textrm{(kg/m$^3$)} \\[10pt] \mu &= 0.060 \; \;\textrm{(Pa$\cdot$s)} \\[10pt] \mathrm{Re} &= \frac{ \rho \cdot \left( \frac{ \mathrm{Np} }{ 60 } \right) \cdot \left( D_{ap} \right) ^{ 2 } }{ \mu } \\&= \frac{ 1000 \cdot \left( \frac{ 23.208 }{ 60 } \right) \cdot \left( 1.258 \right) ^{ 2 } }{ 0.060 } \\&= 10197.356 \\[10pt] \end{aligned} \end{split}\]

La alternativa correcta es la c, régimen turbulento.

Problema 4#

Si en las pruebas de laboratorio se determina que \(K_{\mathrm{L}}=65\) y \(K_{\mathrm{T}}=5.75\), entonces el consumo de potencia del agitador industrial \((P)\) es aproximadamente el siguiente:

(a) \(P>25 \mathrm{~kW}\)

(b) \(5<P \leq 25 \mathrm{~kW}\)

(c) \(1<P \leq 5 \mathrm{~kW}\)

(d) \(P \leq 1 \mathrm{~kW}\)

Solución#

%%render long
K_T = 5.75
P = K_T*rho*(Np/60)**3*D_ap**5/1000 #kW
\[\begin{split} \begin{aligned} K_{T} &= 5.750 \; \\[10pt] P &= K_{T} \cdot \rho \cdot \left( \frac{ \mathrm{Np} }{ 60 } \right) ^{ 3 } \cdot \frac{ \left( D_{ap} \right) ^{ 5 } }{ 1000 } \\&= 5.750 \cdot 1000 \cdot \left( \frac{ 23.208 }{ 60 } \right) ^{ 3 } \cdot \frac{ \left( 1.258 \right) ^{ 5 } }{ 1000 } \\&= 1.047 \; \;\textrm{(kW)}\\[10pt] \end{aligned} \end{split}\]

La alternativa correcta es la c.