IIQ2013 - Clase 13

Se usa un intercambiador de calor de doble tubo (ICDT) para enfriar el aceite lubricante del motor de una turbina de gas industrial grande de \(T_{a,e} = 100~\text{°C}\) a \(T_{a,s} = 60~\text{°C}\). El agua de enfriamiento (\(F_{ag} = 0.2~\text{kg/s}\); \(T_{ag,e} = 30~\text{°C}\)) fluye a contracorrientes a través del tubo interno (\(D_i = 25~\text{mm}\)), mientras que el aceite (\(0.1~\text{kg/s}\)) fluye por la zona anular (\(D_{i,e} = 45~\text{mm}\)). La tabla adjunta presenta las propiedades termofísicas del aceite y el agua a sus correspondientes temperaturas promedio.

Table 6 Propiedades termofísicas del aceite y el agua.

Fluido	\(T~\text{(K)}\)	\(c_P~\text{(J/kg}\cdot\text{K)}\)	\(\mu~\text{(Pa}\cdot\text{s)}\)	\(Pr\)	\(k~\text{(W/m}\cdot\text{K)}\)
Aceite	353	2131	3.25\(\times\)10\(^{-2}\)	\	0.138
Agua	308	4178	7.25\(\times\)10\(^{-4}\)	4.85	0.625

Librerias a utilizar:

import handcalcs.render
from handcalcs import handcalc
from numpy import pi, log

Pregunta 1

Determine la diferencia de temperatura relevante (\(\Delta T_{ml}\)) para este caso

(a) \(\Delta T_{ml}\) < 30 °C
(b) 30 < \(\Delta T_{ml}\) < 40 °C
(c) 40 < \(\Delta T_{ml}\) < 50 °C
(d) \(\Delta T_{ml}\) > 50 °C

Solución

Del enuniciado sabemos que nuestro sistema se encuentra a contracorriente, luego la diferencia de temperatura relevante esta dada por:

\[ \Delta T_{ml} = \frac{(T_{h,e} - T_{c,s}) - (T_{h,s} - T_{c,e})}{\ln\left(((T_{h,e} - T_{c,s})/(T_{h,s} - T_{c,e})\right)} \]

Donde el subíndice \(h\) indica las temperaturas del fluido caliente y \(c\) las temperaturas pertenecientes las del fluido frio.

Para otener la temperatura de salida del agua utilizamos el balance global de energía:

\[ q = \dot{m}_hc_{P,h}(T_{h,e}-T_{h,s}) = \dot{m}_cc_{P,c}(T_{c,s}-T_{c,e}) \]

%%render params
T_he = 100+273.15 #K
T_hs = 60+273.15 #K
T_ce = 30+273.15 #K
m_h = 0.1 #kg/s
m_c = 0.2 #kg/s
c_Ph = 2131 #J/kg$\cdot$K
c_Pc = 4178 #J/kg$\cdot$K

\[\begin{split} \begin{aligned} T_{he} &= 373.150 \; \;\textrm{(K)} &T_{hs} &= 333.150 \; \;\textrm{(K)} &T_{ce} &= 303.150 \; \;\textrm{(K)} \\[10pt] m_{h} &= 0.100 \; \;\textrm{(kg/s)} &m_{c} &= 0.200 \; \;\textrm{(kg/s)} &c_{Ph} &= 2131 \; \;\textrm{(J/kg$\cdot$K)} \\[10pt] c_{Pc} &= 4178 \; \;\textrm{(J/kg$\cdot$K)} \end{aligned} \end{split}\]

%%render long
q = m_h*c_Ph*(T_he-T_hs) #J
T_cs = q/(m_c*c_Pc)+T_ce #K

\[\begin{split} \begin{aligned} q &= m_{h} \cdot c_{Ph} \cdot \left( T_{he} - T_{hs} \right) \\&= 0.100 \cdot 2131 \cdot \left( 373.150 - 333.150 \right) \\&= 8524.000 \; \;\textrm{(J)}\\[10pt] \\[10pt] T_{cs} &= \frac{ q }{ m_{c} \cdot c_{Pc} } + T_{ce} \\&= \frac{ 8524.000 }{ 0.200 \cdot 4178 } + 303.150 \\&= 313.351 \; \;\textrm{(K)}\\[10pt] \end{aligned} \end{split}\]

Finalmente, calculamos lo pedido.

%%render long
DT_ml = ((T_he-T_cs)-(T_hs-T_ce))/(log((T_he-T_cs)/(T_hs-T_ce))) #C o K

\[\begin{split} \begin{aligned} \mathrm{DT}_{ml} &= \frac{ \left( T_{he} - T_{cs} \right) - \left( T_{hs} - T_{ce} \right) }{ \ln \left( \frac{ T_{he} - T_{cs} }{ T_{hs} - T_{ce} } \right) } \\&= \frac{ \left( 373.150 - 313.351 \right) - \left( 333.150 - 303.150 \right) }{ \ln \left( \frac{ 373.150 - 313.351 }{ 333.150 - 303.150 } \right) } \\&= 43.200 \; \;\textrm{(C o K)}\\[10pt] \end{aligned} \end{split}\]

La alternativa correcta es la c.

Pregunta 2

Determine el valor del número de Reynolds para el fluido que circula por el tubo (\(Re_D\))

(a) \(Re_D\) \(<\) \(10^4\)
(b) \(10^4\) \(\leq\) \(Re_D\) \(<\) \(4\times10^4\)
(c) \(4\times10^4\) \(\leq\) \(Re_D\) \(<\) \(10^5\)
(d) \(10^5\) \(\geq\) \(Re_D\)

Solución

Para Reynolds, sabemos que:

\[ Re_D = \frac{D_{eq}\cdot\dot{m}}{A_{t}\cdot\mu} \]

Para el flujo que circula en el tubo interno, el diámetro equivalente es el diámetro interno del tubo y el área transversal será:

\[ A_t = \pi\left(\frac{D}{2}\right)^2 \]

%%render params sci_not 2
D = 25/1000 #m
mu_c = 7.25e-4 #Pa$\cdot$s
A_t = pi*(D/2)**2 #m$^2$

\[\begin{split} \begin{aligned} D &= 2.50 \times 10 ^ {-2} \; \;\textrm{(m)} &\mu_{c} &= 7.25 \times 10 ^ {-4} \; \;\textrm{(Pa$\cdot$s)} &A_{t} &= 4.91 \times 10 ^ {-4} \; \;\textrm{(m$^2$)} \\[10pt] \end{aligned} \end{split}\]

%%render long
Re_D = (D*m_c)/(A_t*mu_c)

\[\begin{split} \begin{aligned} \mathrm{Re}_{D} &= \frac{ D \cdot m_{c} }{ A_{t} \cdot \mu_{c} } \\&= \frac{ 0.025 \cdot 0.200 }{ 0.000 \cdot 0.001 } \\&= 14049.540 \\[10pt] \end{aligned} \end{split}\]

La alternativa correcta es la b.

Pregunta 3

Determine el coeficiente de transferencia de calor para el fluido que circula por el tubo (\(h_{ag}\)) usando una correlación adecuada para el régimen de flujo determinado a partir de (2), que considere que el agua se está calentando, y que se baste con los datos de propiedades termofísicas de la tabla de más arriba:

(a) \(h_{ag}\) \(<\) 1000 \(\text{W/m}^2\cdot\text{K}\)
(b) 1000 \(\leq\) \(h_{ag}\) \(<\) 1500 \(\text{W/m}^2\cdot\text{K}\)
(c) 1500 \(\leq\) \(h_{ag}\) \(<\) 2500 \(\text{W/m}^2\cdot\text{K}\)
(d) \(h_{ag}\) \(\geq\) 2500 \(\text{W/m}^2\cdot\text{K}\)

Solución

Para elegir con mayor detalle la ecuación que ocuparemos para calcular el número de Nusselt, nos fijamos que nuestro número de Prandtl para el agua y el número de Reynolds se encuentran en rango apropiado para utilizar la ecuación de Dittus-Boelter.

%%render long
Pr = 4.85
n = 0.4 #El agua se está calentando
NuD = 0.023*Re_D**0.8*Pr**n

\[\begin{split} \begin{aligned} \mathrm{Pr} &= 4.850 \; \\[10pt] n &= 0.400 \; \;\textrm{(El agua se está calentando)} \\[10pt] \mathrm{NuD} &= 0.023 \cdot \left( \mathrm{Re}_{D} \right) ^{ 0.8 } \cdot \left( \mathrm{Pr} \right) ^{ n } \\&= 0.023 \cdot \left( 14049.540 \right) ^{ 0.8 } \cdot \left( 4.850 \right) ^{ 0.400 } \\&= 89.982 \\[10pt] \end{aligned} \end{split}\]

Podemos despejar el coeficiente de trasnferencia de calor desde la definición del número de Nusselt

\[ Nu_D = \frac{hD}{k} \]

%%render long
k = 0.625
h = (k*NuD)/D #W/m$^2\cdot$K

\[\begin{split} \begin{aligned} k &= 0.625 \; \\[10pt] h &= \frac{ k \cdot \mathrm{NuD} }{ D } \\&= \frac{ 0.625 \cdot 89.982 }{ 0.025 } \\&= 2249.543 \; \;\textrm{(W/m$^2\cdot$K)}\\[10pt] \end{aligned} \end{split}\]

Por lo tanto, la alternativa correcta es la c.

Pregunta 4

Si coeficiente de transferencia de calor para el aceite fuese \(h_a = 44.3~\text{W/m}^2\cdot\text{K}\) y se pudiese despreciar la resistencia a la transferencia de calor de la pared del tubo, determine el coeficiente global de transferencia de calor (U) requerido para diseñar el equipo:

(a) U \(<\) 40 \(\text{W/m}^2\cdot\text{K}\)
(b) 40 \(\leq\) U \(<\) 50 \(\text{W/m}^2\cdot\text{K}\)
(c) 50 \(\leq\) U \(<\) 60 \(\text{W/m}^2\cdot\text{K}\)
(d) U \(\geq\) 60 \(\text{W/m}^2\cdot\text{K}\)

Solución

Asumiendo que no hay resistencia a la transferencia de calor dado por la pared, el coeficiente de transferencia global será:

\[ U = \left(\frac{D_i}{D_{i,e}h_a}+\frac{1}{h_{ag}}\right)^{-1} \]

%%render long
h_a = 44.3 #W/m$^2\cdot$K
D_ie = 45e-3 #m
U = (D/(D_ie*h) + 1/h_a)**-1 #W/m$^2\cdot$K

\[\begin{split} \begin{aligned} h_{a} &= 44.300 \; \;\textrm{(W/m$^2\cdot$K)} \\[10pt] D_{ie} &= 0.045 \; \;\textrm{(m)} \\[10pt] U &= \left( \frac{ D }{ D_{ie} \cdot h } + \frac{ 1 }{ h_{a} } \right) ^{ -1 } \\&= \left( \frac{ 0.025 }{ 0.045 \cdot 2249.543 } + \frac{ 1 }{ 44.300 } \right) ^{ -1 } \\&= 43.821 \; \;\textrm{(W/m$^2\cdot$K)}\\[10pt] \end{aligned} \end{split}\]

Por lo tanto, la respuesta correcta es la b.

Pregunta 5

Determine el largo requerido del intercambiador de calor (L):

(a) L \(<\) 50 m
(b) 50 \(\leq\) L \(<\) 65 m
(c) 65 \(\leq\) L \(<\) 80 m
(d) L \(\geq\) 80 m

Solución

Desde la ecuación de diseño se obtiene el largo.

\[ Q = UA\Delta T_{ml} \]

Donde \(A\) es el área donde ocurre la transferencia de calor y es:

\[ A = L\pi D_i \]

%%render long
L = q/(U*pi*D*DT_ml) #m

\[\begin{split} \begin{aligned} L &= \frac{ q }{ U \cdot \pi \cdot D \cdot \mathrm{DT}_{ml} } \\&= \frac{ 8524.000 }{ 43.821 \cdot 3.142 \cdot 0.025 \cdot 43.200 } \\&= 57.331 \; \;\textrm{(m)}\\[10pt] \end{aligned} \end{split}\]

Entonces, la alternativa correcta es la b.