Ejercicio 2: Escalamiento de estanques agitados

Enunciado

Usted trabaja en un centro de investigación de aceites para uso industrial llamado Uncle Oil®. Recientemente, su jefe le ha pedido escalar su agitador piloto a uno industrial para masificar la producción de aceite de motor (ambos estanques cilíndricos). Considere que su agitador a escala piloto funciona a \(400\hspace{1mm}RPM\), y que el motor con el que cuenta el centro de investigación para escala industrial alcanza los \(230\hspace{1mm}RPM\). Usted sabe que el diámetro del agitador piloto es \(D_{a,1}=15\hspace{1mm}(cm)\), y que las proporciones \(S_i\) se mantienen constantes e iguales a \(S_1=1/3\) y \(S_6=3/2\). El equipo de investigación reológica, le hace entrega de la figura a continuación. Determine lo siguiente:

1. Encuentre la temperatura a la cual deberá operar el estanque industrial para que este funcione a su máxima capacidad de revoluciones. Considerando que el estanque piloto se encontraba a \(20\hspace{1mm}°C\). Asuma que se encuentra en régimen laminar.

2. Calcule el volumen del estanque industrial. Considere que el escalamiento es de velocidad de punta constante.

3. Calcule la potencia que utilizará este estanque si a escala industrial se utilizaban \(3kW\). Hint: el número de potencia se mantendrá constante.

Fig. 9 Viscosidad vs temperatura para aceite de motor.

Fig. 10 Densidad vs temperatura para aceite de motor.

Información sobre la figura

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Solución

# Paquetes utilizados
import handcalcs.render
from handcalcs import handcalc
from math import pi

Inciso 1

Del gráfico obtenemos que a \(20\hspace{1mm}°C\) la viscosidad es \(\mu\approx 280\hspace{1mm}(cP)\). Ya que nos encontramos en regimen laminar, tenemos que:

\[ \mu_1N_1^2 = \mu_2N_2^2 \]

Entonces despejando para \(\mu_2\).

%%render long
mu_1 = 280 #cP
N_1 = 400 #RPM
N_2 = 230 #RPM
mu_2 = mu_1*(N_1/N_2)**2 #cP

\[\begin{split} \begin{aligned} \mu_{1} &= 280 \; \;\textrm{(cP)} \\[10pt] N_{1} &= 400 \; \;\textrm{(RPM)} \\[10pt] N_{2} &= 230 \; \;\textrm{(RPM)} \\[10pt] \mu_{2} &= \mu_{1} \cdot \left( \frac{ N_{1} }{ N_{2} } \right) ^{ 2 } \\&= 280 \cdot \left( \frac{ 400 }{ 230 } \right) ^{ 2 } \\&= 846.881 \; \;\textrm{(cP)}\\[10pt] \end{aligned} \end{split}\]

Del gráfico de viscosidades, notamos que para \(\mu=846.9\hspace{1mm}(cP)\) la temperatura debe ser \(T\approx 6\hspace{1mm}°C\).

Inciso 2

Si el escalamiento se basa en una velocidad de punta constante:

\[ D_{a,1}N_1=D_{a,2}N_2 \]

Entonces,

%%render long
D_a1 = 0.15 # m
D_a2 = D_a1*N_1/N_2 #m
D_t2 = 3*D_a2 #m
H_2 = 3/2*D_t2 #m
V_2 = pi*(D_t2/2)**2*H_2 #m$^3$

\[\begin{split} \begin{aligned} D_{a1} &= 0.150 \; \;\textrm{(m)} \\[10pt] D_{a2} &= D_{a1} \cdot \frac{ N_{1} }{ N_{2} } \\&= 0.150 \cdot \frac{ 400 }{ 230 } \\&= 0.261 \; \;\textrm{(m)}\\[10pt] \\[10pt] D_{t2} &= 3 \cdot D_{a2} \\&= 3 \cdot 0.261 \\&= 0.783 \; \;\textrm{(m)}\\[10pt] \\[10pt] H_{2} &= \frac{ 3 }{ 2 } \cdot D_{t2} \\&= \frac{ 3 }{ 2 } \cdot 0.783 \\&= 1.174 \; \;\textrm{(m)}\\[10pt] \\[10pt] V_{2} &= \pi \cdot \left( \frac{ D_{t2} }{ 2 } \right) ^{ 2 } \cdot H_{2} \\&= 3.142 \cdot \left( \frac{ 0.783 }{ 2 } \right) ^{ 2 } \cdot 1.174 \\&= 0.565 \; \;\textrm{(m$^3$)}\\[10pt] \end{aligned} \end{split}\]

Inciso 3

Se debe cumplir que el número de potencia es equivalente.

\[ N_{p,1} = N_{p,2} \Rightarrow \frac{P_1}{\rho_1N_1^3D_{a,1}^5} = \frac{P_2}{\rho_2N_2^3D_{a,2}^5} \]

Recordar que la temperatura del agitador industrial se encuentra aproximadamente a \(6\hspace{1mm}°C\), a esa temperatura la densidad del aceite será \(\rho_2\approx 887.5\hspace{1mm}(kg/m^3)\). Y en las condiciones iniciales a \(20\hspace{1mm}°C\) la densidad \(\rho_1\approx 878\hspace{1mm}(kg/m^3)\).

%%render long
P_1 = 3 #kW
rho_1 = 878 #kg/m$^3$
rho_2 = 887.5 #kg/m$^3$
P_2 = P_1*(rho_2*(N_2/60)**3*D_a2**5)/(rho_1*(N_1/60)**3*D_a1**5) #kW

\[\begin{split} \begin{aligned} P_{1} &= 3 \; \;\textrm{(kW)} \\[10pt] \rho_{1} &= 878 \; \;\textrm{(kg/m$^3$)} \\[10pt] \rho_{2} &= 887.500 \; \;\textrm{(kg/m$^3$)} \\[10pt] P_{2} &= P_{1} \cdot \frac{ \rho_{2} \cdot \left( \frac{ N_{2} }{ 60 } \right) ^{ 3 } \cdot \left( D_{a2} \right) ^{ 5 } }{ \rho_{1} \cdot \left( \frac{ N_{1} }{ 60 } \right) ^{ 3 } \cdot \left( D_{a1} \right) ^{ 5 } } \\&= 3 \cdot \frac{ 887.500 \cdot \left( \frac{ 230 }{ 60 } \right) ^{ 3 } \cdot \left( 0.261 \right) ^{ 5 } }{ 878 \cdot \left( \frac{ 400 }{ 60 } \right) ^{ 3 } \cdot \left( 0.150 \right) ^{ 5 } } \\&= 9.172 \; \;\textrm{(kW)}\\[10pt] \end{aligned} \end{split}\]