IIQ2013 - Clase 12

Sea un compresor reciprocante compuesto de cuatro pistones conectados a un eje de vielas que opera a \(125~\text{RPM}\). En cada pistón (\(D = 20~\text{cm}\), \(L = 13~\text{cm}\)) se comprime aire STP (at Standard Temperature and Pressure conditions) isoentrópicamente usando una razón de compresión \(rc = 6\). Responda las siguientes preguntas asumiendo que se puede despreciar el volumen de holgura de cada pistón (pistones ideales):

Librerias a utilizar:

import handcalcs.render
from handcalcs import handcalc
from numpy import pi

Pregunta 1

Los valores del peso molecular (\(MW\)) y factor \(\gamma\) para el aire son los siguientes, respectivamente:

(a) \(MW\approx\) 28 g/mol y \(\gamma\approx\) 1.40
(b) \(MW\approx\) 29 g/mol y \(\gamma\approx\) 1.32
(c) \(MW\approx\) 29 g/mol y \(\gamma\approx\) 1.40
(d) \(MW\approx\) 32 g/mol y \(\gamma\approx\) 1.40

Solución

El aire esta compuesto por: \(N_2\) en un \(78\%\) y \(O_2\) en un \(22\%\). Con \(MW_{N_2} = 28~\text{g/mol}\) y \(MW_{O_2} = 32~\text{g/mol}\)

%%render long
MW_N2 = 28 #g/mol
MW_O2 = 32 #g/mol
MW = 0.78*MW_N2 + 0.22*MW_O2

\[\begin{split} \begin{aligned} \mathrm{MW}_{N2} &= 28 \; \;\textrm{(g/mol)} \\[10pt] \mathrm{MW}_{O2} &= 32 \; \;\textrm{(g/mol)} \\[10pt] \mathrm{MW} &= 0.78 \cdot \mathrm{MW}_{N2} + 0.22 \cdot \mathrm{MW}_{O2} \\&= 0.78 \cdot 28 + 0.22 \cdot 32 \\&= 28.880 \\[10pt] \end{aligned} \end{split}\]

Luego \(MW\approx29~\text{g/mol}\) y \(\gamma=1.4\). Por lo tanto la alternativa correcta es la c.

Pregunta 2

El flujo masico de aire comprimido (\(m\)) descargado por el compresor es el siguiente:

(a) \(m\) > 2 kg/min de aire
(b) 1.5 < \(m\) ≤ 2 kg/min de aire
(c) 1.0 < \(m\) ≤ 1.5 kg/min de aire
(d) \(m\) ≤ 1 kg/min de aire

Hint: Puede estimar dicho flujo masico considerando el volumen especifico del aire STP y el volumen total barrido por los cuatro pistones operando a 125 rpm.

Solución

Ya que en el enunciado nos dicen que el aire se comprime a STD, la presión es \(100~\text{kPa}\) y la temperatura es \(273.15~\text{K}\). Ya que no hay holgura \(c=0\):

\[ V_{total} = 4V_{c+l} = 4\frac{\pi(D)^2}{4}L \]

%%render long
D = 0.2 #m
L = 0.13 #L
V = 4*((pi*D**2)/(4))*L #m$^3$

\[\begin{split} \begin{aligned} D &= 0.200 \; \;\textrm{(m)} \\[10pt] L &= 0.130 \; \;\textrm{(L)} \\[10pt] V &= 4 \cdot \left( \frac{ \pi \cdot \left( D \right) ^{ 2 } }{ 4 } \right) \cdot L \\&= 4 \cdot \left( \frac{ 3.142 \cdot \left( 0.200 \right) ^{ 2 } }{ 4 } \right) \cdot 0.130 \\&= 0.016 \; \;\textrm{(m$^3$)}\\[10pt] \end{aligned} \end{split}\]

Para obtener la masa por ciclo, podemos separar el volumen másico \(v~\text{m}^3\text{/kg}\) desde la ecuación de los gases ideales:

\[ Pv = \frac{RT}{MW} \Rightarrow PV = \frac{mRT}{MW} \]

%%render long
R = 8.314 #J/mol$\cdot$K
T = 273.15 #K
P = 100000 #Pa
m_cic = (P*V*MW/1000)/(R*T) #kg/ciclo

\[\begin{split} \begin{aligned} R &= 8.314 \; \;\textrm{(J/mol$\cdot$K)} \\[10pt] T &= 273.150 \; \;\textrm{(K)} \\[10pt] P &= 100000 \; \;\textrm{(Pa)} \\[10pt] m_{cic} &= \frac{ P \cdot V \cdot \frac{ \mathrm{MW} }{ 1000 } }{ R \cdot T } \\&= \frac{ 100000 \cdot 0.016 \cdot \frac{ 28.880 }{ 1000 } }{ 8.314 \cdot 273.150 } \\&= 0.021 \; \;\textrm{(kg/ciclo)}\\[10pt] \end{aligned} \end{split}\]

Como nos indica el Hint, podemos calcular el flujo másico a partir de las revoluciones por minuto.

%%render long
RPM = 125 #rpm
f_m = m_cic*RPM #kg/min

\[\begin{split} \begin{aligned} \mathrm{RPM} &= 125 \; \;\textrm{(rpm)} \\[10pt] f_{m} &= m_{cic} \cdot \mathrm{RPM} \\&= 0.021 \cdot 125 \\&= 2.597 \; \;\textrm{(kg/min)}\\[10pt] \end{aligned} \end{split}\]

Por lo tanto, la alternativa correcta es la a.

Pregunta 3

La temperatura de expulsión del aire comprimido (\(T_2\)) del compresor es la siguiente:

(a) \(T_2\) > 300 °C
(b) 200 < \(T_2\) ≤ 300 °C
(c) 100 < \(T_2\) ≤ 200 °C
(d) \(T_2\) ≤ 100 °C

Solución

Sabemos que

\[ p_1v_1^\gamma = p_2v_2^\gamma \Rightarrow \left(\frac{p_2}{p_1}\right)^{\frac{1}{\gamma}} = \frac{v_1}{v_2} \]

Y además, para gases ideales:

\[ pv = RT \]

Luego reemplazando \(v\).

\[ \left(\frac{p_2}{p_1}\right)^{\frac{1}{\gamma}} = \frac{RT_1P_2}{RT_2P_1} \Rightarrow \frac{T_2}{T_1} = \left(\frac{p_2}{p_1}\right)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}} \]

Sabemos que \(p_2/p_1\) es el factor de compresión e igual a \(6\). Despejamos \(T_2\).

%%render long
rc = 6
gamma = 1.4
T_2 = T*(rc)**((gamma-1)/gamma) #K

\[\begin{split} \begin{aligned} \mathrm{rc} &= 6 \; \\[10pt] \gamma &= 1.400 \; \\[10pt] T_{2} &= T \cdot \left( \mathrm{rc} \right) ^{ \left( \frac{ \gamma - 1 }{ \gamma } \right) } \\&= 273.150 \cdot \left( 6 \right) ^{ \left( \frac{ 1.400 - 1 }{ 1.400 } \right) } \\&= 455.754 \; \;\textrm{(K)}\\[10pt] \end{aligned} \end{split}\]

Luego \(T_2 = 455.75~\text{K} = 182.6\text{°C}\). Entonces, la alternativa correcta es la c.

Pregunta 4

La potencia (\(W\)) que se debe entregar al aire para comprimirlo hasta \(p_2 = 6~\text{atm}\) es la siguiente:

(a) \(W\) > 50 kW
(b) 5 < \(W\) ≤ 50 kW
(c) 0.5 < \(W\) ≤ 5.0 kW
(d) \(W\) ≤ 0.5 kW

Solución

Asumiendo que el compresor opera de manera de manera idea, obtenemos la potencia a partir de la relación con el trabajo.

\[ \dot{W}_{rev} = \frac{\gamma}{\gamma-1}p_1\dot{V}_1\left(\left(\frac{p_2}{p_1}\right)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}-1\right) \]

Asumiendo que \(\rho\approx1~\text{kg/m}^3\):

%%render long
V_1dot = f_m/60 #m$^3$/s
W_dot = gamma/(gamma-1)*P*V_1dot*(rc**((gamma-1)/gamma)-1) #W

\[\begin{split} \begin{aligned} V_{1dot} &= \frac{ f_{m} }{ 60 } \\&= \frac{ 2.597 }{ 60 } \\&= 0.043 \; \;\textrm{(m$^3$/s)}\\[10pt] \\[10pt] W_{dot} &= \frac{ \gamma }{ \gamma - 1 } \cdot P \cdot V_{1dot} \cdot \left( \left( \mathrm{rc} \right) ^{ \left( \frac{ \gamma - 1 }{ \gamma } \right) } - 1 \right) \\&= \frac{ 1.400 }{ 1.400 - 1 } \cdot 100000 \cdot 0.043 \cdot \left( \left( 6 \right) ^{ \left( \frac{ 1.400 - 1 }{ 1.400 } \right) } - 1 \right) \\&= 10126.845 \; \;\textrm{(W)}\\[10pt] \end{aligned} \end{split}\]

Ya que \(W = 10.13~\text{kW}\), la alternativa correcta es la b.