IIQ2013 - Clase 11
Considere aire (\(\gamma = 1.4\)) procedente de un depósito o estanque que fluye a través de una tubería recta de gran longitud y provista con aislación térmica (no ocurre transferencia de calor con los alrededores). La presión y temperatura en el estanque son \(p_1 = 20~\text{atm}\) y \(T_1 = 555.6~\text{K}\), respectivamente (\( \rho = 12.72 \text{kg/m}^3\)). Además, se sabe que el número de Mach a la entrada de la tubería es \(Ma_1 = 0.05\).
Librerias a utilizar:
Problema 1
La velocidad a la entrada de la tubería (\(V_1\)) es aproximadamente la siguiente:
(a) \(V_1\) < 1 m/s
(b) 1 m/s < \(V_1\) ≤ 10 m/s
(c) 10 m/s < \(V_1\) ≤ 100 m/s
(d) \(V_1\) > 100 m/s
Solución
Sabemos que:
\[
Ma_1 = \frac{V_1}{c_1} \Rightarrow V_1 = Ma_1\sqrt{\frac{\gamma RT_1}{MW}}
\]
\[\begin{split}
\begin{aligned}
\mathrm{Ma}_{1} &= 0.050 \;
\\[10pt]
\gamma &= 1.400 \;
\\[10pt]
R &= 8.314 \; \;\textrm{(J/mol$\cdot$K)}
\\[10pt]
T_{1} &= 555.600 \; \;\textrm{(K)}
\\[10pt]
\mathrm{MW} &= 0.028 \; \;\textrm{(kg/mol)}
\\[10pt]
V_{1} &= \mathrm{Ma}_{1} \cdot \sqrt { \frac{ \gamma \cdot R \cdot T_{1} }{ \mathrm{MW} } } \\&= 0.050 \cdot \sqrt { \frac{ 1.400 \cdot 8.314 \cdot 555.600 }{ 0.028 } } \\&= 24.029 \; \;\textrm{(m/s)}\\[10pt]
\end{aligned}
\end{split}\]
La alternativa correcta es la c.
Problema 2
¿Cuáles son los valores de la temperatura (\(T^*\)) y presión (\(P^*\)) al momento de alcanzarse la velocidad sónica en la tubería?
(a) \(T^* \approx\) 350 K y \(p^* \approx\) 0,5 atm
(b) \(T^* \approx\) 450 K y \(p^* \approx\) 1 atm
(c) \(T^* \approx\) 550 K y \(p^* \approx\) 1,5 atm
(d) \(T^* \approx\) 650 K y \(p^* \approx\) 2 atm
Solución
Ya que nos encontramos frente a un flujo adiabático:
\[
\frac{T}{T^*} = \frac{\gamma+1}{2+(\gamma-1)Ma^2}
\]
\[
\frac{p}{p^*} = \frac{1}{Ma}\sqrt{\frac{\gamma+1}{2+(\gamma-1)Ma^2}}
\]
\[\begin{split}
\begin{aligned}
p_{1} &= 20 \; \;\textrm{(atm)}
\\[10pt]
\rho &= 12.720 \; \;\textrm{(kg/m$^3$)}
\\[10pt]
T &= T_{1} \cdot \left( \frac{ \gamma + 1 }{ 2 + \left( \gamma - 1 \right) \cdot \left( \mathrm{Ma}_{1} \right) ^{ 2 } } \right) ^{ -1 } \\&= 555.600 \cdot \left( \frac{ 1.400 + 1 }{ 2 + \left( 1.400 - 1 \right) \cdot \left( 0.050 \right) ^{ 2 } } \right) ^{ -1 } \\&= 463.232 \; \;\textrm{(K)}\\[10pt]
\\[10pt]
P &= p_{1} \cdot \left( \frac{ 1 }{ \mathrm{Ma}_{1} } \cdot \sqrt { \frac{ \gamma + 1 }{ 2 + \left( \gamma - 1 \right) \cdot \left( \mathrm{Ma}_{1} \right) ^{ 2 } } } \right) ^{ -1 } \\&= 20 \cdot \left( \frac{ 1 }{ 0.050 } \cdot \sqrt { \frac{ 1.400 + 1 }{ 2 + \left( 1.400 - 1 \right) \cdot \left( 0.050 \right) ^{ 2 } } } \right) ^{ -1 } \\&= 0.913 \; \;\textrm{(atm)}\\[10pt]
\end{aligned}
\end{split}\]
La anternativa más cercana a nuestros resultados es la b.
Problema 3
Dado un valor \(4 f L^*/D = 400\), el flux de aire (\(G/A\)) a la entrada del conducto es aproximadamente la siguiente:
(a) \(G/A\) < 280 kg/s\(\cdot\)m\(^2\)
(b) 280 < \(G/A\) ≤ 380 kg/s\(\cdot\)m\(^2\)
(c) 380 < \(G/A\) ≤ 480 kg/s\(\cdot\)m\(^2\)
(d) \(G/A\) ≤ 480 kg/s\(\cdot\)m\(^2\)
Solución
Notamos que la razón de presiones es alta. Comparando con las condiciones de flujo máximo, se itera \(Ma\) para encontrar las condiciones en que se cumpla:
\[
400 = \frac{1-Ma^2}{\gamma Ma^2} + \left(\frac{\gamma+1}{2\gamma}\right)\ln\left(\frac{2(\gamma+1)Ma^2}{2+(\gamma-1)Ma^2}\right)
\]
Como estimación inicial, utilizamos la condición del enunciado \(Ma = 0.05\).
\[\begin{split}
\begin{aligned}
\mathrm{Ma} &= 0.050 \;
\\[10pt]
\mathrm{fLD}_{estimado} &= \frac{ 1 - \left( \mathrm{Ma} \right) ^{ 2 } }{ \gamma \cdot \left( \mathrm{Ma} \right) ^{ 2 } } + \left( \frac{ \gamma + 1 }{ 2 \cdot \gamma } \right) \cdot \ln \left( \frac{ 2 \cdot \left( \gamma + 1 \right) \cdot \left( \mathrm{Ma} \right) ^{ 2 } }{ 2 + \left( \gamma - 1 \right) \cdot \left( \mathrm{Ma} \right) ^{ 2 } } \right) \\&= \frac{ 1 - \left( 0.050 \right) ^{ 2 } }{ 1.400 \cdot \left( 0.050 \right) ^{ 2 } } + \left( \frac{ 1.400 + 1 }{ 2 \cdot 1.400 } \right) \cdot \ln \left( \frac{ 2 \cdot \left( 1.400 + 1 \right) \cdot \left( 0.050 \right) ^{ 2 } }{ 2 + \left( 1.400 - 1 \right) \cdot \left( 0.050 \right) ^{ 2 } } \right) \\&= 280.614 \\[10pt]
\end{aligned}
\end{split}\]
Segunda estimación \(Ma = 0.04\).
\[\begin{split}
\begin{aligned}
\mathrm{Ma} &= 0.040 \;
\\[10pt]
\mathrm{fLD}_{estimado} &= \frac{ 1 - \left( \mathrm{Ma} \right) ^{ 2 } }{ \gamma \cdot \left( \mathrm{Ma} \right) ^{ 2 } } + \left( \frac{ \gamma + 1 }{ 2 \cdot \gamma } \right) \cdot \ln \left( \frac{ 2 \cdot \left( \gamma + 1 \right) \cdot \left( \mathrm{Ma} \right) ^{ 2 } }{ 2 + \left( \gamma - 1 \right) \cdot \left( \mathrm{Ma} \right) ^{ 2 } } \right) \\&= \frac{ 1 - \left( 0.040 \right) ^{ 2 } }{ 1.400 \cdot \left( 0.040 \right) ^{ 2 } } + \left( \frac{ 1.400 + 1 }{ 2 \cdot 1.400 } \right) \cdot \ln \left( \frac{ 2 \cdot \left( 1.400 + 1 \right) \cdot \left( 0.040 \right) ^{ 2 } }{ 2 + \left( 1.400 - 1 \right) \cdot \left( 0.040 \right) ^{ 2 } } \right) \\&= 440.946 \\[10pt]
\end{aligned}
\end{split}\]
Tercera estimación \(Ma = 0.042\).
\[\begin{split}
\begin{aligned}
\mathrm{Ma} &= 0.042 \;
\\[10pt]
\mathrm{fLD}_{estimado} &= \frac{ 1 - \left( \mathrm{Ma} \right) ^{ 2 } }{ \gamma \cdot \left( \mathrm{Ma} \right) ^{ 2 } } + \left( \frac{ \gamma + 1 }{ 2 \cdot \gamma } \right) \cdot \ln \left( \frac{ 2 \cdot \left( \gamma + 1 \right) \cdot \left( \mathrm{Ma} \right) ^{ 2 } }{ 2 + \left( \gamma - 1 \right) \cdot \left( \mathrm{Ma} \right) ^{ 2 } } \right) \\&= \frac{ 1 - \left( 0.042 \right) ^{ 2 } }{ 1.400 \cdot \left( 0.042 \right) ^{ 2 } } + \left( \frac{ 1.400 + 1 }{ 2 \cdot 1.400 } \right) \cdot \ln \left( \frac{ 2 \cdot \left( 1.400 + 1 \right) \cdot \left( 0.042 \right) ^{ 2 } }{ 2 + \left( 1.400 - 1 \right) \cdot \left( 0.042 \right) ^{ 2 } } \right) \\&= 399.525 \\[10pt]
\end{aligned}
\end{split}\]
Estamos lo suficientemente cerca del resultado correcto, entonces calculamos.
\[
\left(\frac{G'}{A}\right)_{max} = \rho_1c_1Ma
\]
\[\begin{split}
\begin{aligned}
\mathrm{GA}_{max} &= \rho \cdot \sqrt { \frac{ \gamma \cdot R \cdot T_{1} }{ \mathrm{MW} } } \cdot \mathrm{Ma} \\&= 12.720 \cdot \sqrt { \frac{ 1.400 \cdot 8.314 \cdot 555.600 }{ 0.028 } } \cdot 0.042 \\&= 256.748 \; \;\textrm{(kg/m$^2\cdot$s)}\\[10pt]
\end{aligned}
\end{split}\]
Por lo tanto la alternativa correcta es la a.
