Ejercicio 3: Bombas y eficiencia#

Enunciado#

Entra benceno a \(37.8~\text{°C}\) el cual debe ser bombeado a caudal \(11~\text{m}^3\text{/h}\). El modelo de la bomba es tipo \(3656/3756~\text{Grupo-S}\), con un rodete \(\text{B}\) de diámetro \(7.75~\text{in}\). El benceno se transporta desde un estanque hasta otro tal y como muestra la figura. Ambos estanques se encuentran a \(3~\text{atm}\). La altura entre los puntos \(\text{a'}\) y \(\text{a}\) es \(10~\text{m}\) y la altura entre los puntos \(\text{b}\) y \(\text{b'}\) es de \(2~\text{m}\). Las tuberías tienen un diámetro de \(12~\text{cm}\). La densidad del benceno a la temperatura de operación es de \(865~\text{kg/m}^3\) y su presión de vapor es \(26.2~\text{kPa}\). Si la altura asociada a las perdidas por fricción es \(h_f = 3~\text{m}\) y los codos son codos cuadrados.\

../../_images/img1_2_3.png

Fig. 4 Sistema de tuberías, bombas y estanques.#

Responda lo siguiente:

  1. Demuestre la ecuación que describe el trabajo de la bomba (\(\eta W_p\)) a partir de las ecuaciones de bernoulli para los puntos \(\text{a'-a}\), \(\text{a-b}\) y \(\text{b-b'}\).

  2. Encuentre la altura de la bomba (\(h_B\)) en \(\text{m}\).

  3. Calcule la potencia requerida por la bomba (\(P_m\)) en \(\text{W}\).

  4. Determine si la bomba cavita considerando que la altura asociada a las perdidas por fricción entre \(\text{a'}\) y \(\text{a}\) contribuyen \(2/3\) de las pérdidas totales por fricción.

Ver solución

















Solución#

import handcalcs.render
handcalcs.set_option("custom_symbols",{"ap": "a'", "bp": "b'", "eta": "\eta ", "dotm": "\dot m"})
from numpy import pi

Inciso 1#

Para el primer tramo (\(\text{a'-a}\)), la ecuación de bernoulli será:

\[ \left(\frac{P_{a'}}{\rho} + g\cdot Z_{a'} + \frac{V_{a'}^2}{2}\right) = \left(\frac{P_a}{\rho} + g\cdot Z_a + \frac{V_a^2}{2}\right) + \left(\phi_s+\phi_f\right)_{a'-a} \]

Para el tramo \(\text{a-b}\):

\[ \left(\frac{P_{a}}{\rho} + g\cdot Z_{a} + \frac{V_{a}^2}{2}\right) = \left(\frac{P_b}{\rho} + g\cdot Z_b + \frac{V_b^2}{2}\right) - \eta W_p \]

Por último, para el tramo \(\text{b-b'}\):

\[ \left(\frac{P_{b}}{\rho} + g\cdot Z_{b} + \frac{V_{b}^2}{2}\right) = \left(\frac{P_{b'}}{\rho} + g\cdot Z_{b'} + \frac{V_{b'}^2}{2}\right) + \left(\phi_s+\phi_f\right)_{b-b'} \]

Despejando en la ecuación de bernoulli entre los puntos \(\text{a-b}\).

\[ \left(\frac{P_{a'}}{\rho} + g\cdot Z_{a'} + \frac{V_{a'}^2}{2}\right) - \left(\phi_s+\phi_f\right)_{a'-a} = \left(\frac{P_{b'}}{\rho} + g\cdot Z_{b'} + \frac{V_{b'}^2}{2}\right) + \left(\phi_s+\phi_f\right)_{b-b'} - \eta W_p \]

Luego, podemos entender la suma de las pérdidas de carga por fricción y singularidades entre \(\text{a'-a}\) y \(\text{b-b'}\) como las pérdidas de cargas en todo el sistema.

\[ \left(\phi_s+\phi_f\right)_{a'-b'} = \left(\phi_s+\phi_f\right)_{a'-a} + \left(\phi_s+\phi_f\right)_{b-b'} \]

Finalmente llegamos a la última ecuación:

\[ \left(\frac{P_{a'}}{\rho} + g\cdot Z_{a'} + \frac{V_{a'}^2}{2}\right) = \left(\frac{P_{b'}}{\rho} + g\cdot Z_{b'} + \frac{V_{b'}^2}{2}\right) + \left(\phi_s+\phi_f\right)_{a'-b'} - \eta W_p \]

Para que la ecuación sea consistente con la figura, consideremos que \(Z_{a'}=0\) y que ambos estanques se encuentran a la misma presión (\(3~\text{atm}\)), la cual será la referencia \(P_{a'}=P_{b'}=0\). Además, el punto \(\text{a'}\) se considera sin movimiento (\(V_{a'}=0\)) por el supuesto de estanque muy grande. Reordenando:

\[ \eta W_p = \left(g\cdot Z_{b'} + \frac{V_{b'}^2}{2}\right) + \left(\phi_s+\phi_f\right)_{a'-b'} \]

Luego, reemplazando las pérdidas de carga y asumiendo que la velocidad el todo el sistema (excluyendo el estanque) es constante:

\[ \eta W_p = g\cdot Z_{b'} + \left(1 + 4f\left(\frac{L}{D_e}\right) + K \right)\frac{V^2}{2} \]

Inciso 2#

Ya que en el enunciado nos entregan las pérdidas de carga por fricción en \(\text{m}\), escribmos la función para \(\eta W_p\) de la siguiente manera:

\[ \eta W_p = g\cdot Z_{b'} + \left(1 + K \right)\frac{8Q^2}{\pi^2D^4} + g\cdot h_f \]
%%render params
g = 9.81 #m/s$^2$
Z_bp = 10-2 #m
D = 12/100 #m
K_codo = 1.2
K_salida = 0.5
K_entrada = 1.0
Q = 11/3600 #m$^3$/s
h_f = 3 #m
rho = 865  #kg/m$^3$
\[\begin{split} \begin{aligned} g &= 9.810 \; \;\textrm{(m/s$^2$)} &Z_{b'} &= 8 \; \;\textrm{(m)} &D &= 0.120 \; \;\textrm{(m)} \\[10pt] K_{codo} &= 1.200 \; &K_{salida} &= 0.500 \; &K_{entrada} &= 1.000 \; \\[10pt] Q &= 0.003 \; \;\textrm{(m$^3$/s)} &h_{f} &= 3 \; \;\textrm{(m)} &\rho &= 865 \; \;\textrm{(kg/m$^3$)} \\[10pt] \end{aligned} \end{split}\]
%%render long
etaW_p = g*Z_bp + (1 + (K_salida + 4*K_codo + K_entrada))*(8*Q**2)/(pi**2*D**4) + g*h_f #J/kg
\[\begin{split} \begin{aligned} \eta W_{p} &= g \cdot Z_{b'} + \left( 1 + \left( K_{salida} + 4 \cdot K_{codo} + K_{entrada} \right) \right) \cdot \frac{ 8 \cdot \left( Q \right) ^{ 2 } }{ \left( \pi \right) ^{ 2 } \cdot \left( D \right) ^{ 4 } } + g \cdot h_{f} \\&= 9.810 \cdot 8 + \left( 1 + \left( 0.500 + 4 \cdot 1.200 + 1.000 \right) \right) \cdot \frac{ 8 \cdot \left( 0.003 \right) ^{ 2 } }{ \left( 3.142 \right) ^{ 2 } \cdot \left( 0.120 \right) ^{ 4 } } + 9.810 \cdot 3 \\&= 108.176 \; \;\textrm{(J/kg)}\\[10pt] \end{aligned} \end{split}\]
%%render long
h_B = etaW_p/g #m
\[\begin{split} \begin{aligned} h_{B} &= \frac{ \eta W_{p} }{ g } \\&= \frac{ 108.176 }{ 9.810 } \\&= 11.027 \; \;\textrm{(m)}\\[10pt] \end{aligned} \end{split}\]

Inciso 3#

Del gráfico para la bomba tipo \(3656/3756~\text{Grupo-S}\) con rodete \(\text{B}\) de diámetro \(7.75~\text{in}\), vemos que para un caudal de \(11~\text{m}^3\text{/h}\) la eficiencia es aproximadamente de un \(\eta = 65~\%\).

La fórmula para la potencia requerida puede ser escrita como:

\[ P_B = \dot{m}W_p \]
%%render long
eta = 0.65
dotm = Q*rho #kg/s
P_B = dotm*etaW_p/eta #W
\[\begin{split} \begin{aligned} \eta &= 0.650 \; \\[10pt] \dot m &= Q \cdot \rho \\&= 0.003 \cdot 865 \\&= 2.643 \; \;\textrm{(kg/s)}\\[10pt] \\[10pt] P_{B} &= \dot m \cdot \frac{ \eta W_{p} }{ \eta } \\&= 2.643 \cdot \frac{ 108.176 }{ 0.650 } \\&= 439.871 \; \;\textrm{(W)}\\[10pt] \end{aligned} \end{split}\]

Inciso 4#

Debemos compara \(\text{NPSH}_d\) con \(\text{NPSH}_r\). Del gráfico, \(\text{NPSH}_r \approx 17.5~\text{m}\).

Para la \(\text{NPSH}_d\) sabemos que:

\[ \text{NPSH}_d = \frac{P_{a'}-P_v}{\rho g} - z_a - \left(1 + K \right)\frac{8Q^2}{g\pi^2D^4} - h_{f,a'-a} \]
%%render params
P_v = 26.2*1000 #Pa
P_ap = 3*101325 #Pa
z_a = 10 #m
h_f = 2 #m
\[\begin{split} \begin{aligned} P_{v} &= 26200.000 \; \;\textrm{(Pa)} &P_{a'} &= 303975 \; \;\textrm{(Pa)} &z_{a} &= 10 \; \;\textrm{(m)} \\[10pt] h_{f} &= 2 \; \;\textrm{(m)} \end{aligned} \end{split}\]
%%render long
NPSH_d = (P_ap-P_v)/(rho*g) - z_a - (1+(K_salida+4*K_codo+K_entrada))*(8*Q**2)/(g*pi**2*D**4) - h_f #m
\[\begin{split} \begin{aligned} \mathrm{NPSH}_{d} &= \frac{ P_{a'} - P_{v} }{ \rho \cdot g } - z_{a} - \left( 1 + \left( K_{salida} + 4 \cdot K_{codo} + K_{entrada} \right) \right) \cdot \frac{ 8 \cdot \left( Q \right) ^{ 2 } }{ g \cdot \left( \pi \right) ^{ 2 } \cdot \left( D \right) ^{ 4 } } - h_{f} \\&= \frac{ 303975 - 26200.000 }{ 865 \cdot 9.810 } - 10 - \left( 1 + \left( 0.500 + 4 \cdot 1.200 + 1.000 \right) \right) \cdot \frac{ 8 \cdot \left( 0.003 \right) ^{ 2 } }{ 9.810 \cdot \left( 3.142 \right) ^{ 2 } \cdot \left( 0.120 \right) ^{ 4 } } - 2 \\&= 20.708 \; \;\textrm{(m)}\\[10pt] \end{aligned} \end{split}\]

Ya que \(\text{NPSH}_d>\text{NPSH}_r\), la bomba no cavita.